Решение задачи по высшей математике №91

Провести исследование функции с указанием
а) области определения и точек разрыва;
б) экстремумов;
с) асимптот.
По полученным данным построить графики функций.
Решение:

а) Найдем область определения и точки разрыва.
Дана функция ,
где ;
  Функция нечетная.
Область определения функции лежит
- точка разрыва функции второго рода, т.к.
б) Найдем точки экстремумов функции.
Необходимый признак экстремума, если x0 -точка экстремума.

; т.к. производная функции в точке экстремума равна нулю (y’=0) , то , отсюда следует, что
; ;
точки экстремумов функции


Выпуклость и вогнутость функции.
Определение. Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале    (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой.
Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, то кривая y = f(x) обращена выпуклостью верх (выпукла), а если положительна, то кривая y = f(x) обращена выпуклостью вниз (вогнута).
Найдем вторую производную функции
;
;
,
, т.к. , точки перегиба нет.
Подставим значения экстремумов в производную функции второго поряда, получим при x=0, у’’ = -2 , значит функция в точке выпукла, при x=2, y”=2, значит функция в точке вогнута.

с) Найдем асимптоты функции