Пользуясь определением непрерывности доказать, что функция  непрерывна  всюду на .
Решение. Докажем непрерывность этой функции в произвольной точке .
Пусть  – приращение аргумента в точке . Соответствующее приращение функции имеет вид:
   
         Вычислим предел приращения функции, когда приращение аргумента стремится к нулю:
.
Получили, что , что и означает непрерывность функции  на всей числовой прямой, т.к.  – произвольная действительная точка.