Составить канонические уравнения прямой:
1) проходящей через точку  параллельно вектору
2) проходящей через две заданные точки  и
3) заданной общими уравнениями

Решение. 1) Пусть  – произвольная точка искомой прямой. Тогда  т. е. их координаты пропорциональны. Т. к.   то имеем соотношения:

которые и представляют собой канонические уравнения прямой с заданными свойствами на плоскости.
2) Пусть  – произвольная точка прямой. Тогда векторы  и  – коллинеарны, т. е. их координаты пропорциональны.
Т. к.   то имеем:

Это и есть искомый результат.
3) Для перехода от общих уравнений прямой L к каноническим обычно поступают следующим образом. Подбирают какую-либо точку  фиксируя числовые значения одной из  координат и решая относительно нее систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Затем находят направляющий вектор  прямой L как векторное произведение нормальных векторов плоскостей, задающих L. Проиллюстрируем на примере.

 – направляющий вектор плоскости ,  – нормальный вектор плоскости
Тогда вектор . Определим его координаты:

Для нахождения точки  зафиксируем одно из координатных значений, например,  Тогда, подставив в заданные общие уравнения  получим:
 или  т. е. .
Таким образом, искомые канонические уравнения