Найти координаты точки N, симметричной точке  относительно прямой, проходящей через точки  и .
Решение. Для решения задачи воспользуемся следующими рассуждениями: симметричная точке M точка N находится в той же плоскости, что прямая AB и точка M, лежит на перпендикуляре MN к прямой AB и находится от прямойAB на том же расстоянии, что и точка M.
Пусть  Тогда
1)  – компланарны;
2) ;
3) ;
4) середина отрезка MN лежит на прямой AB.
Составим систему уравнений, используя координатную форму записи условий 1–3.
  
 – компланарны при условии  т. е.  откуда получаем




 откуда
Условие  равносильно условию  или  что приводит к уравнению
 затем

 откуда

.

 следовательно,
 После подстановки ,  получим  или  
Таким образом, точки  и  удовлетворяют первым трем условиям. Осталось проверить четвертое. Найдем середины  и  отрезков  и  соответственно и проверим, какая из точек ( или ) лежит на прямой
 ли
 или
 т. к.  но
 т. к.
Итак,