Даны координаты точек :
а)  найти векторное произведение векторов  и  и его длину;
б)  найти угол между  векторами  и ;
в)  составить уравнение прямой, проведенной из вершины D и перпендикулярно плоскости АВС.

         Решение:
а) Найдем координаты векторов  и :  и .
Векторное произведение векторов вычислим с помощью определителя, первая строка которого содержит вектора базиса . .
Теперь вычислим длину вектора . .
б) Воспользуемся формулой , где ? – угол между векторами  и . Для этого сначала найдем координаты вектора .
Получим .
Отсюда . Знак минус показывает, что угол тупой ().

в)  Запишем в общем виде уравнение прямой, проходящей через данную точку с направляющим вектором: , где  - координаты точки, а  - координаты направляющего вектора.
Запишем уравнение плоскости, проходящей через три точки А, В и С:   или ,
отсюда . Т.о. вектор нормали плоскости АВС имеет координаты .

Так как искомая прямая перпендикулярна плоскости АВС, то координаты направляющего вектора искомой прямой . Подставим полученные координаты направляющего вектора и координаты точки D в общее уравнение прямой. Получим .

Ответ:  а)  , ;
б)  ;
в)  .