1. Дано векторне поле

а) обчисліть потік векторного поля через поверхню , яка обмежує зверху тіло Т в задачі 5.4, у напрямку нормалі, що утворює гострий кут з віссю .
б) зробіть рисунок поверхні і її проекції на координатні площини.
Розв‘язання.

Поверхня ? проектується:   на  площину хОу в ?АОВ;
на  площину хОz в криволінійний ?АОC;
на  площину уОz в параболу y=z2 (тобто область ?yz вироджуються в лінію);
Вектор має тюльки другу координату:

За  допомогою формули  обчислимо поверхневий інтеграл (потік вектора через поверхню ?)

Нормаль  утворює за  умовами  задачі гострий кут з віссю . Як випливає з  малюнку,  утворює тупий кут з віссю . Тому подвійний інтеграл беремо за  знаком «–»:
; так як y=z2 ? y2=z ??
Парабола ОС – проекция перетину  площини y=z2 з площиною у=х, тому її рівняння х=z2
Отже,
Від‘ємне значення потоку свідчить про те, що  напрям потоку протилежний напряму нормального вектору .