Знайдіть частинний розв’язок диференціального рівняння, який задовольняє дані початкові умови:



Розв‘язання.

Так як права частина рівняння ?0, маємо неоднорідне рівняння.  Загальний розв‘язок неоднорідного рівняння має вигляд:
, де
- загальний розв‘язок відповідного однорідного рівняння,
- деякий частинний розв‘язок неоднорідного рівняння.
Спочатку знайдемо загальний розв‘язок відповідного однорідного рівняння.
Характеристичне рівняння відповідного однорідного рівняння:

Воно має  корені (?;):
;
Тому  функції ; утворюють систему лінійно незалежних розв‘язків диференціального рівняння.
Отже загальний розв‘язок однорідного рівняння має вигляд:

Знайдемо частинний розв‘язок неординарного рівняння методом невизначених коефіцієнтів.
Права частина рівняння має вигляд (в даному випадку ). Значения є простим коренем характеристичного рівняння. Тоді  частинний розв‘язок шукаємо у вигляді або .
Знайдемо похідні:

Знайдемо похідні:


Підставимо значення ;;у вихідне рівняння:
?
??
??
?
Прирівнявши коефіцієнти при однакових ступенях ч в обох частинах цієї тотожності, маємо систему рівнянь для знаходження значень А, В, С.

А=1; ; .
Отже, , а загальний розв‘язок неоднорідного рівняння має вигляд:

Для знайдення частинного розв‘язання, вирахуємо  та , скориставшись умовами задачі.
Для цього знайдемо похідну здобутого загального розв‘язку:

Скористаємося початковими умовами:
???
Розв‘язавши систему рівнянь, маємо С1=1; С2=1

 Таким чином, шуканий частинний розв’язок диференціального рівняння  має вигляд: