Решение задачи по высшей математике №239
|
Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
.
Требуется: 1) найти общее решение системы с помощью характеристического уравнения; 2) записать данную систему и ее решение в матричной форме.
Решение:
1)
Эту систему можно записать в виде:
Продифференцируем обе части первого уравнения и исключим из полученного равенства и . После дифференцирования получим:
Но из первого уравнения системы следует , что , поэтому
Это уравнение является уравнением второго порядка:
Его характеристическое уравнение
имеет корни
Поэтому общее решение записывается в виде:
Выражая теперь из первого уравнения заданной системы, находим :
Значит, общее решение системы имеет вид:
2)
Эту систему можно записать в виде матричного дифференциального уравнения:
Здесь
Будем искать частные решения системы в виде
, тогда
где и k - неопределенные коэффициенты, которые следует найти.
Подставляя эти функции в систему, получим
Сокращая на придем к системе линейных однородных алгебраических уравнений относительно
Чтобы эта система однородных уравнений имела ненулевые решения (только такие нас и интересуют), необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю:
Раскрывая этот определитель, получим характеристическое уравнение:
и найдем его корни
Подставим в систему:
Положим , тогда
При
Положим , тогда
Получаем фундаментальную систему решений:
Для
Для
Общее решение системы имеет вид:
|