Пусть – координаты произвольного вектора линейного пространства, заданные в некотором базисе. Известен закон изменения координат вектора под действием преобразования .
1. Доказать, что – линейное преобразование.
2. Составить матрицу линейного преобразования в том же базисе, в котором заданы координаты вектора .
3. Найти образ вектора и прообраз вектора под действием преобразования .
4. Найти собственные векторы и собственные значения преобразования .
; ; .
Решение.
1) Докажем, что преобразование линейное. Рассмотрим векторы линейного пространства и , их образы , и координатные столбцы этих векторов в том же базисе:
; ; ; .
Должно выполняться условие .
Вектор + имеет столбец координат:
+=.
Применим преобразование и получим:
==
=+= +.
Пусть далее k – произвольное действительное число. Рассмотрим образ вектора k. Координатный столбец при преобразовании переходит в столбец
=.
Таким образом, выполняется и условие =. Доказано, что –линейное преобразование.
2) Составим матрицу A , задающую линейное преобразование . Из правила умножения матриц следует, что
==.
Таким образом, матрица A имеет вид: A=.
- Найдем образ вектора . Для этого умножим матрицу A на столбец его координат:
==.
Итак, образ вектора имеет координаты .
Найдем прообраз вектора . Пусть вектор имеет координаты . Тогда
=; получаем систему
Решим систему методом Гаусса.
;
Система совместна и имеет единственное решение.
Таким образом, прообраз вектора имеет координаты .
4) Найдём собственные векторы и собственные значения линейного преобразования .
A=- матрица линейного преобразования .
Составим характеристический многочлен: =
.
Запишем характеристическое уравнение и найдём его корни.
=0. Тогда, =3; – собственное значение.
Для собственного значения найдём собственные векторы.
=3.
, или Ненулевые решения этой системы являются собственными векторами, принадлежащими собственному значению =3.
Размерность подпространства решений решение.
- свободная переменная; , - зависимые переменные.
Из системы: =0, =0. Общее решение: ; =С; .
Полагая, С=1, получим собственный вектор для =3.
Ответ: 1)преобразование - линейное;
2) A=- матрица линейного преобразования ;
3) образ вектора : = ;
прообраз вектора :=;
4) =3, .
|