Математический портал Математику.ру

 

Решение задачи по высшей математике №105

  1. радиус сходимости степенного ряда , если


Решение:
Воспользуемся формулой для радиуса сходимости ряда вида  :

Поскольку

то

Есть и другой способ определения радиуса сходимости данного ряда, не связанный с вычислением пределов. Для этого необходимо найти сумму заданного ряда. Воспользуемся известным разложением в ряд функции логарифма:

Заменив в данной формуле на , получим:

Очевидно, что данная функция имеет единственную конечную особую точку, – это значение переменной , при котором выражение под знаком логарифма обращается в ноль:

откуда

Как известно, радиус сходимости ряда равен расстоянию от центра сходимости до ближайшей особой точки функции, являющейся суммой ряда. В данном случае центром сходимости является , и искомое расстояние в таком случае представляет собой модуль числа :

что совпадает с вычисленным нами значением.