Найти особые точки следующей системы. Определить её тип. Построить схематически фазовые траектории в окрестности каждой особой точки.

Решение.

1) Находим точки покоя:

 ?       2 две особые точки:   ,

2) Найдем якобиан системы:
      
3) Возьмем  точку  : 
Якобиан в этой точке равен:

   
Найдем собственные значения, посчитав следующий определитель:

¦I-?E¦=    =  = 0,  отсюда 
l1 = 4  ,     l2 = - 8  , так как собственные значения l1 , l2  разных знаков, то

• особая точка типа седло.

Найдем собственные вектора, соответствующие найденным собственным значениям:
Для   : ¦I-4E¦=       ?   ~

Для  = -8 : ¦I-(-8)E¦=        ?    ~

Построим фазовые траектории в окрестности точки  .

4) Теперь рассмотрим точку   :
Якобиан в этой точке равен:
       
Найдем собственные значения:
¦I-?E¦=      =    = 0    ?    l3 = 4   l4  = 8   , так как собственные значения l1 , l2  одного знаков, то
?   эта точка типа неустойчивый узел.
Найдем собственные вектора, соответствующие найденным собственным значениям:
Для     :   ¦I-4E¦=        ?   ~
Для   :     ¦I-8E¦=     ?   ~
Построим фазовые траектории в окрестности точки :