Используя формулу Пуанкаре-Бендиксона, доказать существование цикла у уравнения или системы.

Решение.

1)  Составим систему:

2)  Составим матрицу системы:

Найдем собственные значения, посчитав следующий определитель:
  ,   
Вещественная часть собственных значений равна:
      полином гурвицев .

3)  Используем теорему о том, что если  в уравнении
 ,      А – это гурвицева матрица и
  - ограниченная  ,
то система диссипативна.
Поэтому сделаем замену:  ,
и докажем ограниченность
Посчитаем интеграл:

   интеграл ограничен, т. е. является сходящимся.
   Система диссипативна.
4) Убедимся, что (0, 0)  - единственное состояние равновесия:

   других состояний равновесия нет.

5) Докажем, что матрица Якоби антигурвицева.
Якобиан нулевого решения:

Найдем собственные значения, посчитав следующий определитель:
,

 ,
Вещественная часть собственных значений равна:
 полином антигурвицев
(т.е. (0,0) – неустойчивое состояние равновесия).

  Т. к. матрица Якоби – антигурвицева и система диссипативна, то по соответствующей теореме у исходного уравнения существует цикл.