Методом Пуанкаре найти приближенно периодические решения данных уравнений.

,
Решение.

, где
-  малый параметр.

В окрестности   x = 0  функцию  sin(2x) можно разложить в ряд  Тейлора и взять первые 2 члена ряда (остальными можно пренебречь в силу их малости) :

 ~      , тогда исходное уравнение перепишем в виде:

       Сделаем замену:

  ,           , тогда

,

  ,     заменим
         (*)
   - не является целым числом и
    - 2 -  периодическая функция             
 исходное уравнение всегда имеет  2 -  периодическое решение.

Решение будем искать в виде ряда по степеням малого параметра, то есть в виде
          подставим ряды в уравнение   (*)  

           
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях параметра  в левой и правой частях последнего равенства:

…………………………………

Поскольку  , порождающее уравнение имеет единственное периодическое решение, которое будем искать в виде:

И  подставим в уравнение (*):
    
 

              ,      

Далее:
   ,     

(**)

Аналогично рассчитаем:

                                                                                               подставим
                        в
                                                                                              уравнение (**)

                ,           ,           ,          .

Подставим найденные функции x0 и x1 в правую часть уравнения
     , тогда оно примет вид:
        

Будем искать решение последнего уравнения в виде:

Найдем:

                      ;             ;

                       ;       ;

                       ;        

Итак, справедливо приближенное равенство:

Сделаем обратную замену, чтобы вернуться к x(t):
       

     Используя пакет Mathcad, сравним полученное решение (***) с точным решением исходного уравнения на периоде [0, 2]. Для этого найдем для решения (***) значения x(0) и (0), после чего найдем решение исходного уравнения с заданными начальными условиями, например, методом Рунге-Кутта. Результаты расчетов приведены ниже.

Исследуемое уравнение: ,

График для µ=0.45 (жирная линия – решение методом Рунге-Кутта)

График для µ=0.39 (жирная линия – решение методом Рунге-Кутта)