1. .  Даны четыре вектора  (а1, а2, а3), (b1, b2, b3),
2. (c1, c2, c3) и (d1, d2, d3) в некотором базисе. Показать, что векторы  , ,  образуют  базис, и найти координаты вектора  в этом базисе.

(1,3,5),   (0,2,0),      (5,7,9),    (0,4,16).
Решение: Как известно, базисом в пространстве является любая упорядоченная система  из трёх линейно независимых векторов. Покажем, что векторы , и линейно независимы, т.е. выполняется равенство:

при условии, что все числа , ,  одновременно равны нулю. Подставляя в это равенство координаты векторов , , , получаем:
(е1 + 3е2 + 5е3) + (2е2) + (5е1 + 7е2 + 9е3) = 0
или             ( + 5) • е1 + (3 +  + 7) • е2 +(5 + 9) • е3 = 0
Для того, чтобы вектор, разложенный по базису е1, е2, е3 был равен нулевому вектору, его координаты должны равняться нулю, т.е.

Получим однородную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными , , . Такая система имеет нулевое решение (=0, =0, =0), если её определитель не равен нулю.
Поскольку ,
то векторы , ,  линейно независимы. Следовательно, они образуют базис и вектор является линейной комбинацией векторов , , : =. Числа , ,  будут координатами вектора в базисе , , . Найдем их.
Воспользовавшись разложением , , ,  в базисе е1, е2, е3, имеем:
4 е2 + 16 е3 = ( е1 + 3 е2 + 5 е3) + (2 е2) + (5 е1 + 7 е2 + 9 е3)
Или           4 е2 + 16 е3 = ( + 5) е1 + (3 + 2 + 7) е2 + (5+ 9) е3.
Из равенства векторов следует равенство их координат, поэтому получаем систему:

Решая её по формулам Крамера =, , находим:
, , .
Следовательно, , , , т.е. координаты вектора  в этом базисе: =(1,-1,0).