1. Даны координаты вершин пирамиды A1A2A3A4. Найти: 
2. 1) длину ребра А1А2; 
3. 2) угол между ребрами А1А2 и А1А4; 
4. 3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 
5. 4) площадь грани А1А2А3;     
6. 5) объём пирамиды;
7. 6) уравнения прямой А1А2;
8. 7) уравнение плоскости А1А2А3; 
9. 8) уравнения высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.

Сделать чертёж.
А1(2,4,3),   А2(7,6,3),   А3(4,9,3),   А4(3,6,7).

Решение:

1. найдём координаты и длину вектора:

= (5,2,0),

1. найдем угол между ребрами А1А2 и А1А4.

Для этого найдём координаты и длину вектора :
= (1,2,4),
Векторное произведение векторов:  и :

; 

1. угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3

найдем каноническое уравнение  ребра А1А4
,

 – каноническое уравнение  ребра А1А4
Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки
А1(2,4,3),   А2(7,6,3),   А3(4,9,3):



уравнение плоскости, проходящей через точки А1, А2, А3:

Синус угла между ребром А1А4 и гранью А1А2А3

1. площадь грани А1А2А3;

Грань А1А2А3 – это треугольник, площадь которого равна ? площади параллелограмма, построенного на векторах  и
= (5,2,0),
= (2,5,0),
Векторное произведение векторов:

1. Находим площадь треугольника А1А2А3: 
2. 
3.  
4. 5) объём пирамиды;
5. 
6.  
7. = (5,2,0),

 = (2,5,0),
= (1,2,4),
Смешанное произведение векторов:

1. 
2. объём пирамиды
3. 6) уравнения прямой А1А2;
4. а). Как пересечение двух плоскостей А1А2А3 и А1А2А4:

уравнение плоскости, проходящей через точки А1, А2, А3:

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки
А1(2,4,3),   А2(7,6,3),   А4(3,6,7):



уравнение плоскости, проходящей через точки А1, А2, А4:

1. Общие уравнения прямой А1А2:
2. 
3.  
4. б). каноническое уравнение прямой А1А2:

,

 – каноническое уравнение  ребра А1А2

1.  
2. с). параметрическое уравнение прямой А1А2:
3. 
4. 
5. 
6. 7) уравнение плоскости А1А2А3; 
7.  

А1(2,4,3),   А2(7,6,3),   А3(4,9,3):


уравнение плоскости, проходящей через точки А1, А2, А3:

1.  
2.  
3. 8) уравнения высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.

уравнение плоскости, проходящей через точки А1, А2, А3:

Нормальный вектор данной плоскости

Уравнение высоты А4Н, опущенной из т. А4(3,6,7) на плоскость А1А2А3, имеет вид:

Найдем координаты т.Н: 
Решая параметрическое уравнение прямой А4Н 
и уравнение плоскости А1А2А3: , имеем: , отсюда координаты т.Н: