Исследовать функцию и построить график   у = .
Решение:
1)Область определения функции: х2+х+1?0 ни при каких значениях х, так как
х2+х+1=0
                            

 ? См.по графику

2)Четность, нечетность функции:

  и  . Следовательно, функция к четным и нечетным не относится.

3)Нули функции и промежутки знакопостоянства.
. Действительных корней нет, следовательно, график не пересекает ось ох.
 
 ? точка пересечения с осью оу.
Так как нулей нет, то у>0 при всех действительных значениях х (график располагается выше оси ох).

4)Промежутки возрастания и убывания функции:
Находим производную:

,      ,     ,  следовательно на промежуткахи  ? функция убывает; на промежутке ? функция возрастает.

5)Точки максимума и минимума:
При переходе через точку   производная меняет знак с «?» на «+», следовательно,  есть точка минимума:

При переходе через точку   производная  меняет знак с «+» на «?», следовательно,  есть точка максимума:

6)Промежутки вогнутости и выпуклости:
Находим:


  или 
 ;   ;   .

На промежутках  ? выпуклость графика функции направлена вверх (выпукла);
На промежутках  ? выпукла вниз (вогнута).

7),   ,    ? точки перегиба, так как  меняет знак при переходе через эти точки.

Точки перегиба:

8)Асимптоты:
1)Вертикальных асимптот нет, так как
2)Наклонная асимптота  

, следовательно, наклонной асимптоты нет.
3)Горизонтальная асимптота:
  , следовательно,  ? горизонтальная асимптота.

9)Таблица: