Исследовать на сходимость числовой ряд. Исследовать ряд на абсолютную сходимость.
Данный ряд является знакопеременным, для определения его сходимости воспользуемся признаком Лейбница. > > >
Оба условия признака Лейбница выполняются, следовательно, ряд сходится.
Исследуем ряд на абсолютную сходимость.
Для определения абсолютной сходимости составим ряд из модулей членов исходного ряда: Это знакоположительный ряд.
Исследуем этот ряд с помощью интегрального признака. (2)
Найдём неопределённый интеграл (3)
Подставляем (3) в (2)
Интеграл существует, следовательно ряд сходится.
От сюда следует, данный ряд - абсолютно сходящийся.
Найти область сходимости степенного ряда
Воспользуемся формулой ; ;
Интервал - интервал сходимости ряда
Исследуем поведение этого ряда на концах интервала, т.е. при
При - ряд расходится
При - ряд сходится
Таким образом область схождения данного ряда