На вещевой склад с трех предприятий поступает продукция первого и второго сорта. В продукции первого предприятия содержится 15% второсортных изделий, в продукции второго предприятия - 25% и третьего - 30% второсортных изделий. Чему равна вероятность того, что среди трех изделий (по одному из продукции каждого предприятия) окажутся первосортными два изделия?

Решение

Заметим, что, например, появление только первого события А равносильно появлению события        
- появилось первое и не появились второе и третье события.

Введем обозначения:       
А – появление первосортного изделия с первого склада, следовательно   -появление второсортного с первого склада;
B– появление первосортного изделия со второго склада, тогда - появление второсортного изделия со второго склада;
С – появление первосортного изделия с третьего склада, тогда - появление второсортного изделия с третьего склада;
D1 - появилось только событие А и B, то есть 1= ;

D2 - появилось только события А и С, то есть 2= ;

D3 - появилось только событие Аи С, то есть 3= BC.

Таким образом, чтобы найти вероятность появления двух событий из А, В, С, будем искать вероятность Р(D1, D2, D3).
Так как события А, В, С  несовместны, то применима теорема сложения:

Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С).                                  (*)

Остается найти вероятности каждого из событий А, В, С.                    
События , ,  независимы, следовательно, независимы события А, В, С, поэтому применима теорема умножения:        

1)= ( )= ) )=p1 p2q3.

Аналогично:  Р(D2)=p2q2 p3 ;   P(D3)=q1 p2 p3. 

где р1, p2, p3  - вероятности появления первосортных изделий с первого, второго, третьего завода.
События q1, q2, q3  - вероятности появления второсортных изделий,  противоположные событиям р1, p2, p3. Следовательно,

q1=0,15; q2=0,25; q3=0,3

p1=1-0,15=0,85;   p2=0,75;   p3=0,7.

Подставляя эти вероятности в (*), найдем искомую вероятность появления двух событий из А, В, С:
Р(А+В+С)=p1p2q3+p1q2p3+q1p2p3=0,85*0,75*0,3+0,85*0,25*0,7+0,15*0,75*0,7=0,419.