Даны координаты вершин пирамиды  , , , , .  Найти:  1) длину ребра ; 2) угол между ребрами  и ;
3) угол между ребром   и гранью ; 4) площадь грани ;
5) объем пирамиды ; 6) уравнение прямой  ; 7) уравнение плоскости ; 8) уравнение высоты опущенной из вершины  на грань  . Сделать чертеж.
Решение:

1. Длину ребра  найдем как длину вектора  по формуле:

   2) Угол между ребрами  и  найдем как угол между векторами и
 , пользуясь определением скалярного произведения :

Откуда  =                     ? 143?    

1. Угол между ребром   и гранью  найдем по формуле

   ,

где  нормальный вектор плоскости 

Откуда,                   ?  71?

1. Площадь грани вычислим с помощью векторного произведения

Из предыдущего решения видно, что , значит
, отсюда находим

1. Объем пирамиды  вычислим с помощью смешанного произведения трех векторов, на которых построена пирамида

1. Уравнение прямой  найдем по формуле уравнения прямой проходящей через две точки:

   ,     отсюда уравнение имеет вид:

1. Для того чтобы составить уравнение плоскости , возьмем текущую точку  плоскости. Векторы , ,  лежат в этой плоскости, т.е. они являются компланарными. Воспользуемся условием компланарности трех векторов:

В силу условия компланарности уравнение плоскости  имеет вид:

1. Чтобы составить уравнение высоты, опущенной из вершины  на грань ,

воспользуемся каноническими уравнениями прямой:
,   где - координаты точки, через которую проходит прямая (в нашем случае это точка ), а - координаты направляющего вектора  . Т.к. прямая и плоскость перпендикулярны, то нормальный вектор плоскости  параллелен прямой. Поэтому за направляющий вектор прямой берем вектор , найденный прежде в предыдущем(3) задании. Уравнение прямой, опущенной из вершины  , имеет вид: