Дана система линейных уравнений

Доказать ее совместимость и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средством матричного исчисления.
Решение:
Для совместности системы необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы равнялся рангу расширенной матрицы этой системы (теорема Кронекера-Капелли). Матрица А системы состоит из коэффициентов при неизвестных

Если к матрице системы добавить столбец из свободных членов, то получим расширенную матрицу системы

Под рангом понимается наибольший порядок минора, отличного от нуля. Для матрицы А минором наивысшего порядка, равного трем, является ее определитель:

Следовательно,
В расширенной матрице В нет минора больше 3, detAявляется одним из ее миноров третьего порядка, поэтому    .
 Система совместна, т.к.   

1. Решение методом Гаусса состоит в преобразовании системы к треугольному виду, что достигается исключением неизвестных  из 2-го и 3-го уравнений и - из 3-го уравнения. Последовательное исключение неизвестных осуществляется с помощью элементарных преобразований системы, приводящих к равносильной системе, к которым относятся:

а)  перестановка любых двух уравнений,
б)  умножение обеих частей одного уравнения на любое отличное от нуля число;
в)  прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на любое число.
Все преобразования, связанные с последовательным исключением неизвестных, удобнее применять не к самой системе линейных уравнений, а к ее расширенной матрице. Получающиеся при этом матрицы называются эквивалентными и соединяются знаком ~

Были проведены следующие действия:

1. к элементам второй строки прибавили соответствующие элементы первой строки, умноженные на (-5);
2. к элементам третьей строки прибавили соответствующие элементы первой строки, умноженные на (-3);
3. умножили вторую строку  на ;
4. к элементам третьей строки прибавили соответствующие элементы второй строки, умноженные на 7;
5. умножили третью строку  на .

Полученной матрице соответствует система уравнений:

Решая уравнения снизу вверх, имеем ; ; ;
Ответ: (1;1;7)

1. Для решения системы матричным методом вводим матрицы:

 ,   ,  
Тогда систему можно записать матричным уравнением  АХ=В . Решение системы матричным методом определяется соотношением ; при detA?0, где - обратная матрица
,   где

- алгебраическое дополнение, соответствующее элементу ;
- минор (определитель), который получается из матрицы А после вычеркивания i-ой строки и j-го столбца.
Найдем алгебраические дополнения:









Следовательно:

Пользуясь правилом умножения матриц получим решение системы:

 ,

откуда ;  ;