Исследовать методами дифференцированного исчисления функцию , используя результаты исследования, построить ее график.
Решение:
Исследование функции можно провести по следующей схеме:
Найти область определения функции.
Исследовать на непрерывность, найти точки разрыва графика функции.
Найти уравнения вертикальных, наклонных асимптот, если они существуют.
Выяснить четность, нечетность, периодичность функции.
Найти точки пересечения графика с осями координат.
Найти интервалы монотонности, точки экстремума функции.
Найти интервалы выпуклости, вогнутости графика функции, точки перегиба.
1) Область определения х?.
2) Данная функция существует всюду, кроме точек . Точки  и  являются точками разрыва.
3) Так как
        
         
значит прямые,  и  являются вертикальными асимптотами функции.
Наклонная асимптота имеет уравнение , где


,

значит прямая  является горизонтальной асимптотой функции.

4) Функция является четной, т.к.

Функция не является периодической.
5) Если х=0, то  , поэтому график функции пересекает ось ОУ в точке
О(0;2). Если у=0, то , откуда. Потому график функции  пересекает ось ОХ в точках  (;0) и (;0)
6) Исследуем функцию на экстремум. Точками экстремума могут быть точки, в которых  либо

, при х=0;      , при
Исследуем критические точки, определяя знак слева и справа от каждой этой точки. Для сокращения вычислений и для наглядности это исследование удобно записать в виде следующей таблицы:

  Исследуемая функция имеет одну точку экстремума – точку минимума х=0, где .

7) Точками перегиба могут быть точки, в которых  либо
\

;      при  и 
Так как  и   не принадлежат области определения функции, поэтому точек перегиба нет.

Построим график функции: