Даны векторы , , ,  в некотором базисе. Показать, что образуют базис и найти координаты вектора  в этом базисе.
Решение :
Равенство  называется разложением вектора  по векторам . Нас интересует такие системы векторов, по которым разложение любого вектора пространства возможно и притом единственным образом. Такой системой векторов в пространстве служит любая тройка некомпланарных векторов , которые называются базисом пространства, а коэффициенты разложения вектора  x,y,z– координатами вектора в этом базисе.
    Покажем, что векторы  образуют базис. Смешанное произведение некомпланарных векторов отлично от нуля

Итак, векторы образуют базис. Найдем координаты вектора   в этом базисе. Равенство  равносильно системе линейных уравнений с тремя неизвестными x, y, z.

Решим эту систему по правилу Крамера:
                            
Вычислим определитель системы линейных уравнений, который составлен из коэффициентов при неизвестных:

Вычислим вспомогательные определители,  которые получаются из определителя системы, путем замены столбца коэффициентов при соответствующей неизвестной, столбцом свободных членов.

Решение системы имеет вид:
                         

Итак, вектор  в базисе  представим в виде   , т.е. имеем координаты ( 2;-3;0 ) .