|
Даны векторы  ,  ,  ,  , . Доказать, что векторы  ,  ,  ,  образуют базис четырёхмерного пространства, и найти координаты вектора  в этом базисе.
 =(2,-1,0,-3)
 =(-1,1,-2,-1)
 =(0,1,1,-1)
 =(1,0,-2,0)
 =(0,-1,4,-7)
Решение:
Чтобы векторы образовывали базис, они должны быть линейно независимы. Составим определитель из координат векторов  ,  ,  ,  и вычислим его. Если он не равен нулю, то векторы линейно независимы и, следовательно, образуют базис.
Т.к.  , то векторы  ,  ,  ,  линейно независимы и, следовательно, образуют базис четырёхмерного пространства.
Найдем координаты вектора  в этом базисе. Для этого решим систему уравнений методом Гаусса. Приведём систему к «почти треугольному» виду:
 
2 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
1 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
-2 |
1 |
-2 |
4 |
-3 |
-1 |
-1 |
0 |
-7 |
*2
  *2
2 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
-2 |
2 |
2 |
0 |
-2 |
0 |
-2 |
1 |
-2 |
4 |
-6 |
-2 |
-2 |
0 |
-14 |
+I
  +I*3
2 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
2 |
1 |
-2 |
0 |
-2 |
1 |
-2 |
4 |
 0
|
-5 |
-2 |
3 |
 -14
|
+II*2
+II*5
2 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
2 |
1 |
-2 |
0 |
0 |
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
8 |
8 |
-24 |
Т. к.   по теореме Кронекера – Капелли система совместна и имеет единственное решение.
Восстановим систему и решим её снизу – вверх:
 
Проверка:  - верно!
Ответ: вектор  в новом базисе будет выглядеть так: 
|
