Исследовать функцию и построить график:

Решение:

1. Область определения функции:
Т.к. x?, то
D(у): xI(-?; ) E (;+?)

2. Четность и нечетность функции:
, ? данная функция свойствами чётности и нечётности не обладает, и ее график не будет симметричен ни относительно начала координат, ни относительно оси ОУ.

3. Периодичность функции:
Данная функция не является периодической как дробно-рациональная.

4. Непрерывность функции.
Данная функция является непрерывной на всей области определения.

5. Асимптоты графика функции:

а) вертикальные асимптоты:
Т.к. данная функция неопределенна в точке x =:


 x = вертикальная асимптота графика.

б) горизонтальные асимптоты:


 горизонтальных асимптот нет.

в) наклонные асимптоты:
y=k?x+b
,

? y= x – наклонная асимптота графика.

6. Интервалы монотонности и точки экстремумов:
Найдем производную функции.

Видим, что производная существует при любых значениях х?
, ?

Итак, имеется две критические точки: х1=0 и х2=-2, которые делят область определения функции на интервалы монотонности:
(-?; -2) E (-2; ) E (; 0) E (0;+?)

Составим таблицу для определения знака производной:

Итак, точка минимума: В(0; 0)
точка максимума: А(-2; -8/3)

7. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

 ? 

Итак, существует две точки, подозрительные на перегиб: х1=0 и х2=, они делят область определения функции на интервалы:
(-?;) E (; 0) E (0; ) E (;+?)

Составим таблицу для определения знака второй производной:

Итак, точка перегиба: С(;).

8. Точки пересечения графика с осями координат
С осью OY: полагаем x=0, тогда y=0? (.)О(0;0).
С осью OX: полагаем y=0, тогда x=1 ?(.)О(0;0).

9. Дополнительные точки.
x=-7: y=-7
x=4: y=3,92

Построим график функции