Математический портал Математику.ру

 

Решение задачи по высшей математике №276

Вычислить площадь фигуры ограниченной графиками функций у= f1(x), у= f2(x), где в зависимости от варианта: f1(x)= а22+ а1x+ а0  и f2(x)= b2x2+ b1x+ b0 или f1(x)= а1х2+ а0  и f2(x)= b2x2- b1x+ b0.


а2

а1

а0

b2

b1

b0

2

-3

2

1

-1

2

Решение:

По данным задачи:
f1(x)=2x2-3x+2                       f2(x)= x2-x+2

Построим графики функций:
f1(x)= 2x2-3x+2 – парабола.
Для построения парабол найдем координаты их вершин и точки пересечения с осями координат.
Вершина параболы является точкой экстремума, поэтому для ее отыскания найдем производную и приравняем ее к нулю.
;     4х-3=0;     х=3/4,
тогда   y(3/4) = 2.(?)2 - 3?3/4+2 = 7/8.
Итак, вершина параболы в точке (3/4;7/8).
Точки пересечения параболы с осью Ох:  y=0, тогда
2x2-3x+2=0, D<0, т.к. действительных корней нет, значит нет и точек пересечения графика с осями.

f2(x)= x2-x+2– парабола.
;     2х-1=0;     х=1/2,
тогда   y(1/2) = (?)2 – ?+2 = 7/4.
Итак, вершина параболы в точке (1/2;7/4).
Точки пересечения параболы с осью Ох:  y=0, тогда
x2-x+2=0, D<0, т.к. действительных корней нет, значит нет и точек пересечения графика с осями.

Строим параболы по найденным точкам, замечая, что ветви парабол направлены вверх.
Построим графики и определим искомую площадь

Заштрихуем плоскую фигуру, ограниченную параболами.

Найдем пределы интегрирования
x2-x+2= 2x2-3x+2
x2-x+2- 2x2+3x-2=0
-x2+2x=0
-х(х-2)=0
x1=0                              x2=2

Для отыскания искомой площади воспользуемся формулой


где функции  ограничивают фигуру соответственно снизу и сверху, то есть  при  .
В нашей задаче f2(x)= x2-x+2, f1(x)= 2x2-3x+2,
Вычислим площадь фигуры

Ответ: Площадь искомой фигуры:   (кв.ед.).