Даны выборочные варианты х1 и соответствующие им частоты ni количественного признака Х. а) найти выборочные среднюю дисперсию и среднеквадратическое отклонение. б) Считая, что количественный признак Х распределен по нормальному закону и что выборочная дисперсия равна генеральной дисперсии, найти доверительный интервал для оценки математического ожидания с надежностью ?=0,99

Решение

1. Объем выборки

n=

Средняя выборочная:

=

Выборочная дисперсия:

Dв=2 – 2, где =23,76
Средняя выборочная квадратов значений признака ?
=

Тогда  Dв=598,87-(23,76)2=34,33
Среднее квадратичное отклонение:
?в=   ?в=5,86

пусть количественный признак Х генеральной совокупности распределен по нормальному закону, причем среднеквадратическое значение отклонение «?» этого распределения известно. Тогда с вероятностью ? доверительный интервал заданный формулой

; ),

покрывает неизвестное математическое ожидание. Здесь число t находится из соотношения 2Ф(t)=? с помощью таблицы интегральной функции Лапласса.
В данной задаче ?=0,99, поэтому 2Ф(t)=0,99, а Ф(t)=0,495, по таблице находим t=2,58.
По условию задачи дисперсия генеральной совокупности D=Dв и, следовательно, ?=?в=5,86. ранее найдены значения n=118, и Хв=23,76. Поэтому можно найти доверительный интервал:

(23,76-1,39; 23,76+1,39)
(22,37; 25,15).
Ответ: Хв=23,76; Dв=34,33; ?в=5,86; а(22,37; 25,15).