Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
.
Требуется: 1) найти общее решение системы с помощью характеристического уравнения; 2) записать данную систему и ее решение в матричной форме.
Решение:
 1)
Эту систему можно записать в виде:

Продифференцируем обе части первого уравнения и исключим из полученного равенства  и . После дифференцирования получим:

Но из первого уравнения системы следует , что , поэтому

Это уравнение является уравнением второго порядка:

Его характеристическое уравнение
 имеет корни
Поэтому общее решение записывается в виде:

Выражая теперь  из первого уравнения заданной системы, находим :


Значит, общее решение системы имеет вид:

2)         
Эту систему можно записать в виде матричного дифференциального уравнения:

Здесь

Будем искать частные решения системы в виде
, тогда

где  и k - неопределенные коэффициенты, которые следует найти.
Подставляя эти функции в систему, получим

Сокращая на  придем к системе линейных однородных алгебраических уравнений относительно

Чтобы эта система однородных уравнений имела ненулевые решения (только такие нас и интересуют), необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю:

Раскрывая этот определитель, получим характеристическое уравнение:

и найдем его корни

Подставим   в систему:

Положим  , тогда
При 

Положим  , тогда
Получаем фундаментальную систему решений:
Для    
Для      
Общее решение системы имеет вид: