Пусть  – координаты произвольного вектора линейного пространства, заданные в некотором базисе. Известен закон изменения координат вектора под действием преобразования .

1.  Доказать, что   – линейное преобразование.
2.  Составить матрицу линейного преобразования   в том же базисе, в котором заданы координаты вектора .
3.  Найти образ вектора  и прообраз вектора  под действием преобразования .
4.  Найти собственные векторы и собственные значения преобразования .
               
;      ;       .                       
Решение.
1) Докажем, что преобразование   линейное. Рассмотрим векторы    линейного пространства  и , их образы ,  и координатные столбцы этих векторов в том же базисе:
;    ;    ;    .
Должно выполняться условие .  
Вектор +  имеет столбец координат:
+=.
Применим преобразование  и получим:
==
=+= +.
Пусть далее k – произвольное действительное число. Рассмотрим образ вектора k. Координатный столбец   при преобразовании  переходит в столбец
=.
Таким образом,  выполняется и условие =.  Доказано, что  –линейное преобразование.
2) Составим матрицу A , задающую линейное преобразование . Из правила умножения матриц следует, что
==.
Таким образом, матрица A  имеет вид: A=.

1. Найдем образ вектора . Для этого умножим матрицу A на столбец его координат:

==.
Итак, образ вектора  имеет координаты  .
Найдем прообраз   вектора . Пусть вектор  имеет координаты . Тогда
=; получаем систему
Решим систему методом Гаусса.
;
Система совместна и имеет единственное решение.
   
 
 

Таким образом, прообраз вектора   имеет координаты  .
4) Найдём собственные векторы и собственные значения линейного преобразования .
A=- матрица линейного преобразования .
Составим характеристический многочлен:  =
.
Запишем характеристическое уравнение и найдём его корни.
=0. Тогда, =3;   – собственное значение.
Для собственного значения найдём собственные векторы.
=3.               
,  или      Ненулевые решения этой системы являются собственными векторами, принадлежащими собственному значению =3.
    
Размерность подпространства решений   решение.
- свободная переменная;  , - зависимые переменные.
Из системы: =0, =0.  Общее решение: ; =С;     .
Полагая, С=1, получим собственный вектор  для =3.
Ответ: 1)преобразование  - линейное;  
2)  A=- матрица линейного преобразования ;
                                                                           3) образ вектора  : = ;
прообраз вектора :=;
  4) =3, .