Определить экстремумы функции , если .

Решение.
Сначала запишем функцию Лагранжа

.

И исследуем ее

(Учитываем, что по условию )

То есть мы получили четыре критические точки.
В силу условия  нам подходит только первая .
Исследуем эту точку.
Вычислим частные производные второго порядка:

Отсюда получаем, что

Теперь продифференцируем уравнение связи
.
Для точки  

Далее получаем

То есть мы получили отрицательно определенную квадратичную форму.
Следовательно,  – точка условного локального максимума.

.