Исследуйте функция и постройте ее график.

.

Решение

1. Найдем область определения функции:

2. Проверим, является ли функция четной или нечетной:

,

следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
3. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

С осьюОх: , тогда .
С осью Оу: , тогда .

4. Находим первую производную:

 при .

Исследуем знаки производной при переходе через критические точки.

Функция возрастает при. Функция убывает при .. Получаем  - точка максимума,  - точка минимума.
5. Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости и точек перегиба найдем вторую производную:

Вторая производная равна нулю при.
Наносим на числовую прямую точку  и исследуем знак второй производной на каждом из интервалов.

Рис. 1.

В интервале  график функции – выпуклый, в интервале  - вогнутый. . Получаем  - точка перегиба.
6. Находим асимптоты.
Область определения функции – вся числовая прямая, поэтому вертикальных асимптот нет.
Наклонную асимптоту ищем в виде: .

Следовательно, наклонных асимптот нет.
7. Строим график функции (рис. 1):