Исследовать функцию и построить ее график:
Решение.
- Область определения функции
- Функция не является периодической.
Функция является нечётной, так как
- Так как функция нечётна, значит точка пересечения с осью Оу – это начало координат, т.е. точка (0; 0).
Точки пересечения с осью Ох: ,т.е. только точка (0; 0).
- y(x) непрерывна на всей области определения D(x), значит точек разрыва нет, вертикальных асимптот нет.
Так как пределы бесконечны, значит, горизонтальных асимптот нет.
Найдём наклонные асимптоты вида , если они есть:
Прямая будет наклонной асимптотой.
- Найдём экстремумы функции и интервалы возрастания и убывания. Для этого найдём точки, в которых первая производная обращается в 0:
Т.е. критической является точка .
Но в точке x=0, производная не меняет знак, поэтому эта точка не является точкой экстремума.
На всей области определения функции y(x) производная , следовательно, функция возрастает.
- Найдём интервалы выпуклости и вогнутости кривой, а также точки её перегиба. Для этого найдём точки, в которой вторая производная меняет знак.
Значит, функция имеет три точки перегиба: .
На каждом из промежутков и вторая производная , следовательно, функция вогнута. На каждом из промежутков и вторая производная , следовательно, функция выпукла.
- Построим график функции
|