Математический портал Математику.ру

 

Решение задачи по высшей математике №143

Исследовать функцию и построить ее график:

Решение.

  1. Область определения функции
  2. Функция не является периодической.

 Функция является нечётной, так как

 

  1. Так как функция нечётна, значит точка пересечения с осью Оу – это начало координат, т.е. точка (0; 0).

Точки пересечения с осью Ох: ,т.е. только точка (0; 0).

  1. y(x) непрерывна на всей области определения D(x), значит точек разрыва нет, вертикальных асимптот нет.

Так как пределы бесконечны, значит, горизонтальных асимптот нет.
Найдём наклонные асимптоты вида , если они есть:


Прямая  будет наклонной асимптотой.

  1. Найдём экстремумы функции и интервалы возрастания и убывания. Для этого найдём точки, в которых первая производная обращается в 0:

Т.е. критической является точка .
Но в точке x=0, производная не меняет знак, поэтому эта точка не является точкой экстремума.
На всей области определения функции y(x) производная , следовательно, функция возрастает.

  1. Найдём интервалы выпуклости и вогнутости кривой, а также точки её перегиба. Для этого найдём точки, в которой вторая производная меняет знак.


Значит, функция имеет три точки перегиба: .
На каждом из промежутков  и  вторая производная , следовательно, функция вогнута. На каждом из промежутков  и  вторая производная , следовательно, функция выпукла.

  1. Построим график функции