1. Найдите изолированные особые точки заданной функции , выясните их характер и исследуйте поведение функции на бесконечности.

Решение:
Чтобы найти полюса функции  , найдём сначала нули функции :

Нулями данной функции будут точки  и . Порядок указанных нулей функции соответственно четвёртый, второй и первый. Отсюда следует, что функция  будет иметь в этих точках полюса четвёртого, второго и первого порядков соответственно.
Докажем, что точка является существенно особой. Для этого достаточно взять несколько последовательностей  , сходящихся к точке  и посмотреть, к какой величине будут сходиться последовательности образов. Например, последовательности

сходятся к числу  , в чём нетрудно убедиться. При этом последовательности образов будут сходиться к разным числам. Действительно, выражение   для каждой из указанных последовательностей будет иметь постоянное значение:



и, соответственно, будет сходиться к разным числам при . Поскольку множитель  в точке   аналитичен и имеет определённый предел, равный значению этой дроби в данной точке:

то   и    при , что явно показывает отсутствие предела функции в данной точке. В таком случае точка  является существенно особой по определению.
На бесконечности наша функция имеет полюс четвёртого порядка. Действительно,   при  . Тогда