О портале "Математика. ру" arrow Без измерений arrow «Умный» шарик»
Математический портал Математику.ру

Д. Пойа

Серьезный человек, изучающий математику, намеревающийся сделать математику делом своей жизни, должен учиться доказательным рассуждениям, это его профессия и отличительный признак его науки. Однако для действительного успеха он должен учиться и правдоподобным рассуждениям; это тот тип рассуждений, от которого будет зависеть его творческая работа [247, с. 11].

 

«Умный» шарик»

Печать E-mail
12.03.2008 г.

«Умный» шарик»

 

Несложные геометрические построения только что помогли нам решить задачу о биллиардном шарике, а теперь пусть тот же биллиардный шарик сам решает одну любопытную старин­ную задачу.

Разве это возможно? - шарик же не может мыслить. Верно, но в тех случаях, когда необходимо выполнить некоторый ра­счет, причем известно, какие операция над данными числами и в каком порядке необходимо для этого произвести,, такой расчет можно поручить машине, которая его выполнит без­ошибочно и быстро.

Для этого придумано много механизмов, начиная от про­стого  арифмометра и до  сложнейших  электрических машин,

В часы досуга нередко развлекаются задачей о том, как отлить какую-либо часть воды из наполненного сосуда данной емкости при помощи двух других пустых сосудов тоже извест­ной емкости.

Вот одна из многих задач подобного рода.

Разлить пополам содержимое 12-ведерной бочки при по­мощи двух пустых бочонков в девять  ведер и в пять ведер?

Для решения этой задачи вам, разумеется, не надо экспе­риментировать с настоящими бочками. Все необходимые «пере­ливания» можно проделать на бумаге по такой хотя бы схеме:

 

Image

 

В каждом столбике записан результат очередного перели­вания.

В первом: заполнили бочку в пять ведер, девятиведерная пустая (0), в 12-ведерной осталось семь ведер.

Во втором; перелили семь ведер из 12-ведерной бочки. в девятиведерную и т. д.

В схеме всего девять столбиков; значит, для решения за­дачи понадобилось девять переливаний.

Попробуйте найти свое решение предложенной задачи, устанавливающее иной порядок переливаний.

После ряда проб и попыток вам это несомненно удастся, так как предложенная схема переливаний не является един­ственно возможной; однако же при ином порядке переливаний у вас их выйдет больше девяти.

Возможно, что ваше решение этой задачи устанавливает иной порядок переливаний, но, наверное, более длительный, т. e у вас вышло больше девяти переливаний.

В связи  с  этим  любопытно будет  выяснить  следующее:

 

Image

 

Рис. 152. «Механизм» «умного» шарика.

 

1)  нельзя ли установить какой-либо определенный порядок переливаний, которого можно было бы придерживаться во всех: случаях независимо от ёмкости данных сосудов;

2)  можно ли при помощи двух пустых сосудов отлить из третьего сосуда любое возможное количество воды, т. е., например, из 12-ведерной бочки при помощи бочек в 9 и 5 ведер отлить одно ведро воды, или два ведра, или три, четыре и т. д. до 11.

На все эти вопросы ответит «умный» шарик, если мы сейчас для него построим «биллиардный стол» особой конструкции.

Расчертите листочек бумаги в косую клетку так, чтобы клетки были равными ромбами с острыми углами в 60°, и постройте фигуру OABCD, как на рис. 152.

Вот это и будет «биллиардный стол». Если толкнуть биллиардный шарик вдоль ОА, то, отскочив от борга AD точно по закону «угол падения равен углу отражения»

 

Image

, шарик покатится по прямой Ac4 соединяю­щей  вершины маленьких ромбов; оттолкнется  в точке с4  от борта ВС и покатится по прямой a4d4, затем по прямым a4b4, b4d4, d4a8 и т. д.

По условиям задачи мы имеем три бочки: девять, пять и 12 ведер. В соответствии с этим фигуру построим так, чтобы сторона ОА содержала девять клеток, ОВ- пять клеток, AD - три клетки (12-9 = 3), ВС-семь клеток 1) (12-5 = 7).

Заметим, что каждая точка на сторонах фигуры отделена определенным числом клеток от сторон ОВ и ОА. Например, от точки с4- четыре клетки до ОВ и пять клеток до ОА, от точки а4 - четыре клетки до ОВ и 0 клеток до О А (по­тому что она сама лежит на ОА), от точки d1 - восемь кле­ток до ОВ и четыре клетки до ОА и т. д.

Таким образом, каждая точка на сторонах фигуры, в ко­торую ударяется биллиардный шарик, определяет   два числа.

Условимся, что первое из них, т. е. число клеток, отде­ляющих точку от ОВ, обозначает количество ведер воды, на­ходящихся в девятиведёрной бочке, а второе, т. е. число клеток, отделяющих ту же точку от ОА, определяет количе­ство ведер воды в пятиведерной бочке. Остальное количество воды, очевидно, будет в 12-ведерной бочке.

Теперь все подготовлено к решению задачи при помощи биллиардного шарика.

Пустите его вновь вдоль ОА и, расшифровывая каждую точку его удара о борт так, как указано, проследите за его движением хотя бы до точки с6 (рис.  152).

Первая точка удара: А (9; 0); значит, первое переливание должно дать такое распределение воды:

9-ведсрн.

5-ведерн.

12-ведерн.

9

0

3

 

Это осуществимо.

Вторая точка удара:  с4  (4;   5);   значит,   шарик  рекомен­дует следующий результат второго переливания:

 

Image

 

Это тоже осуществимо.

Третья   точка   удара:   с4   (4;   0);   третьим переливанием шарик советует вернуть пять ведер в 12-ведерную бочку:

 

Image

 

Четвертая   точка:   b4   (0;   4);   результат   четвёртого   переливания:

 

Image

 

 

 1) Наполненная бочка всегда большая из трех. Пусть емкость пустых бочек а и b, а наполненной - с. Если с≥а+Ь, то «биллиардный стол» следует построить в форме параллелограмма со сто­ронами a и b клеток.

Пятая точка: di (8; 4), шарик настаивает   на переливании восьми ведер в пустую дгвятиведерную бочку:

 

Image

 

Продолжайте дальше следить за шариком,  и вы получите такую таблицу:

 

Image

 

Итак,   после   ряда  переливаний  цель   достигнута:   в двух бочках по шести ведер воды. Шарик решил задачу!

Но шарик оказался не очень умный.

Он решил задачу в 18 ходов, а нам удалось ее решить в девять ходов (см. первую таблицу).

Однако шарик тоже может укоротить ряд переливаний. Толкните его сначала по ОВ, остановите в точке В, затем снова толкните по ВС, а дальше пусть он двигается, как условились, - по закону «угол падения равен углу отражения»; получится короткий ряд переливаний.

Если вы позволите шарику продолжать движение и после точки ав, то нетрудно проверить, что в рассматриваемом слу­чае он обойдет все помеченные точки сторон фигуры (и во­обще все вершины ромбов) и только после этого вернется в исходную точку О. Это значит, что из бочки в 12 ведер можно налить в девятиведерную бочку любое целое число ведер от одного до девяти, а в пятиведерную - от одного до пяти.

Но задача подобного рода может и не иметь требуемого решения.

Как это обнаруживает шарик?

Очень просто: в этом случае он вернется в исходную точку О, не ударившись в нужную точку.

На рис. 153 изображен механизм решения задачи для бо­чек в девять, семь и 12 ведер:

 

Image

 

 

«Механизм» показывает, что из наполненной бочки в 12 ведер при помощи пустых бочек в девять ведер и в семь ведер можно отлить любое число ведер, кроме половины ее содержимого, т. е. кроме шести ведер.

На рис. 154 изображен механизм решения задачи для бо­чек в три, шесть и восемь ведер. Здесь шарик делает четыре отскока и возвращается в начальную точку О.

Соответствующая таблица

 

Image

 

 

показывает,   что   в этом  случае невозможно отлить   четыре ведра или одно ведро из восьмиведерной бочки.

 

Image

 

Рис. 153. «Механизм»    показывает,   что полную бочку в  12 ведер нельзя разлить пополам при помощи пустых бочек в девять и семь ведер.

 

 

Image

 

Рис. 154. «Механизм» решения  еще одной  задачи о  переливании.

 

Таким образом, наш «биллиард» с «умным> шариком дей­ствительно является любопытной  и  своеобразной счетной машиной, неплохо решающей задачи о переливании.

 
« Пред.   След. »
Яндекс.Метрика