.

 

Решение задачи по высшей математике №77

Проверить совместность системы уравнений и, в случае совместности, решить ее: а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера; в) матричным методом:

Решение

Выясним, совместна ли данная система линейных уравнений, проверив выполнение условий теоремы Кронекера – Капелли. Найдем ранги  – основной и расширенной матриц системы методом элементарных преобразований:

Наивысший из порядков миноров и матрицы А, и матрицы , отличных от нуля, равен трем. Ранги основной и расширенной матриц системы совпадают, тогда согласно теореме Кронекера – Капелли данная система совместна. Ранг системы равен трем.
Определим количество ее решений. Для этого сравним ранг системы и число ее неизвестных. Поскольку ранг системы равен числу ее неизвестных (n= 3):
r = n, система определенная, т.е. имеет единственное решение.
Согласно заданию, найдем это решение:
а) методом Гаусса.
Матрица  получена из расширенной матрицы данной системы с помощью элементарных преобразований. Следовательно, соответствующая ей система будет эквивалентна исходной, т.е. их решения совпадают. Найдем решение системы:


Ответ: (2; -1; 10).

б) по формулам Крамера.

где
? = det А – основной определитель системы,
?i = А1ib1+ A2ib2+ A3ib3 – определитель, который получается из основного определителя системы ? заменой i-го столбца на столбец свободных членов.
Имеем:

В итоге получим:

Ответ: (2; -1; 10).

в) матричным методом.
Запишем данную систему в матричном виде:
,
кратко: АХ = В.
Выразим отсюда матрицу неизвестных: Х = А-1В.
Чтобы получить вектор-столбец неизвестных Х, т.е. решить данную систему линейных уравнений:
1) найдем матрицу А-1, обратную основной матрице А системы;
2) умножим вектор-столбец свободных членов В на обратную матрицу А-1 слева.
Первый шаг.
Обратная матрица находится по формуле:
,
где Aij – алгебраическое дополнение соответствующего элемента aij матрицы А,
AV = (Aij)T = (Aji) – присоединенная матрица, т.е. транспонированная матрица алгебраических дополнений элементов матрицы А.
Определитель основной матрицы системы вычислен в п. б): det(А) = 9 ? 0.
Он отличен от нуля, следовательно, основная матрица данной системы не вырождена и имеет обратную.
Для всех элементов матрицы А = (аij) найдем их алгебраические дополнения Аij. Имеем:

Найдем присоединенную матрицу: .
Найдем обратную матрицу, умножив присоединенную на величину, обратную определителю:

Второй шаг.
Найдем вектор-столбец неизвестных:
.
Ответ: (2; -1; 10).

: ; legalpro.com.ua :