Математический портал Математику.ру

 

Решение задачи по высшей математике №63

Исследовать функцию  и построить ее график.
Решение
1. Область определения

2. Область значений E(f) укажем по результатам исследования.
3. Поскольку область определения D(f) функции не является множеством, симметричным относительно х = 0, то функция не является четной и нечетной.
4. Функция непериодическая.
5. График функции не пересекает ось Ох, так как  для всех
Если х = 0, то  – точка пересечения оси Оу.
6. Для всех  выполняется  т. е. функция знакоположительна.
7. Функция непрерывна на своей области определения, х = 2 – точка разрыва.
Исследуем характер разрыва.
Вычисляем односторонние пределы в точке х = 2.


Следовательно, х = 2 – точка разрыва II рода (бесконечный скачок).
8. Исследуем функцию на асимптоты. Поскольку


то у = 1 – горизонтальная асимптота.
Мы показали, что в точке х = 2 имеется бесконечный скачок, а поэтому х = 2 – вертикальная асимптота.
Ищем наклонную асимптоту


Получаем у = 1 – это горизонтальная асимптота. Наклонных асимптот нет.
9. Исследуем функцию на монотонность и экстремум.
Найдем производную функции:

Производная положительна на всей D(f). Следовательно, функция возрастает всюду, где она определена. Экстремума нет.
10. Находим вторую производную:


Поскольку  и  на D(f), то знак производной 2-го порядка зависит от знака выражения 5 – 2х. Очевидно, что  если  На этих промежутках график функции вогнут.
Если  то  т. е. график функции является выпуклым на этом промежутке. Точка  является точкой перегиба, так как при этом значении вогнутость графика изменяется на его выпуклость. Найдем ординату, соответствующую точке перегиба:

11. Используя результаты исследования, строим график функции (рис. 10).

Рис. 10

В дополнении отметим, что