Математический портал Математику.ру

 

Решение задачи по высшей математике №488

Исследовать функцию и построить ее график
 .
Решение. 1. Область определения функции: х.
2. Функция является четной, потому что сочетает четные степени аргумента х.
3. Найдем пересечения графика с осями координат:
  т.е. график пересекает ось Y в точке (0; 8).
Приравняем у к нулю и решим уравнение:

Следовательно, ось Х график пересекает в четырех точках (-2,61; 0), (-1,08; 0), (2,61; 0), (1,08; 0).
4. Возьмем первую производную и найдем точки подозрительные на экстремум:

Рассмотрим поведение первой производной в окрестности этих трех точек. Вычислим значения производной в точках -1, 0, 1, 4, 5 и занесем данные в таблицу.

убывает

min

возрастает

max

max

убывает

min

возрастает

Покажем поведение первой производной на рисунке, представляющем числовую ось:

5. Найдем интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба, для этого возьмем вторую производную и приравняем ее  к нулю:

Рассмотрим знак второй производной в окрестности точек


вогнутый

т. перегиба

выпуклый

т. перегиба

вогнутый

Покажем поведение второй производной на числовой оси:

6. Вычислим координаты точек максимума, минимума и точек перегиба.

Точка минимума: x = -2,
Точка перегиба: x = -1,15,
Точка максимума: x = 0,
Точка перегиба: x = 1,15,
Точка минимума: x = 2,
Дополним данными о точках пересечения с осью Х: (-2,61; 0), (-1,08; 0), (2,61; 0), (1,08; 0).
Учтем, что график симметричен относительно оси Y.
Полученных данных достаточно для построения графика функции :