Проведіть повне дослідження функції y = f(x) та побудуйте графік.

Дослідження:

1. Функції не існує при (х3-1) = 0, тобто при  х = 1
Області її визначення . Точка розриву .
2. Знайдемо
Оскільки   та , то функція не є парною і не є непарною. Тобто, це функція загального виду.
3. Знайдемо точки перетину  графіка функції з осями координат:
при  х = 0: ;
при у = 0: ;
Таким чином, є одна точка перетину А(0;0).
4. Дослідимо функцію на неперервність. Розглянемо точку х = 1, в якій функція не існує і знайдемо лівосторонню та правосторонню границю функції в цій точці.


Оскільки в точці одна границя існує, а друга  границя нескінченна, то х = 1 є точкою розриву другого роду.
5. Знайдемо екстремуми функції і інтервали монотонності. Для цього знайдемо першу  похідну.
при х = 0 - перша критична точка.
у? не існує при х = 1 – друга критична точка.
Складемо таблицю:

6. Знайдемо точки перегину та інтервали опуклості і вгнутості графіка функції. Для цього знайдемо другу похудну.

Знайдемо критичні точки другого роду.
у?= 0 при ; ; при х= 0 та ;;
; у? не існує при х = 1
Маємо три критичні  точки другого роду х1= 0; ; х3= 1.
Заносимо результати до таблиці:

7. За результатами дослідження графік функції   має вертикальну асимптоту, рівняння якої х=1.
Знаходимо похилі асимптоти:


Графік має горизонтальну асимптоту у=4

8.Побудуємо графік.