Решение

Каждый перекресток, в котором сходятся линии данной фигуры, назовем узлом. При этом назовем узел четным, если в нем  сходится  четное число линий, и нечетным,   если число  сходящихся  в нем линий   нечетное.   На  фигуре а все узлы четные; на фигуре б имеются два нечетных узла (точки А и В); на фигуре в нечетными узлами являются концы отрезка перечеркнувшего слово   «дом»;   на  фигурах г и д по четыре Нечетных узла.

Рассмотрим сначала такую фигуру, в которой все узлы четные, например фигуру а. Начнем свой маршрут из любой точки S. Проходя, например, через узел A, мы зачерчиваем две линии: подводящую к А и выводящую из А. Так как из каждого четного узла есть столько же выходов, сколько и входов в него, то по мере продвижения от узла к узлу каждый раз незачерченных линий становится на две меньше, следовательно, принципиально вполне возможно, обойдя их все, вернуться в исходную точку S.

Но, допустим, мы вернулись в исходную точку, и выхода из нее больше нет, а на фигуре осталась еще незачерченная линия, исходящая из какого-нибудь узла В, в котором мы уже были. Значит, надо внести поправку в свой маршрут: дойдя до узла В, прежде зачертить пропущенные линии и, вернувшись в В, идти дальше прежним путем.

Пусть, например, мы решили обойти фигуру с так: сна­чала вдоль сторон треугольника АСЕ, затем, вернувшись в точку Л, по окружности ABCDEFA (рис. 155). Так как при этом остается незачрченным треугольник BDF, то прежде, чем мы покинем, например, узел В и пойдем по дуге ВС, нам следует обойти треугольник BDF.

Итак, если все узлы данной фигуры четные, то, отправ­ляясь из любой точки фигуры, всегда можно ее всю зачер­тить одним росчерком, причем в этом случае обход фигуры должен закончиться в той же точка, из которой мы его начали.

Теперь рассмотрим такую фигуру, в которой есть два нечетных узла.

Фигура б, например, имеет два нечетных узла А и В.

Ее тоже можно зачертить одним росчерком.

В самом деле, начнем обход с нечетного узла № 1 и пройдем по какой-нибудь линии до нечетного узла № 2, на­пример, от А до В по АСВ на фигуре б (рис 155).

Зачертив эту линию, мы тем самым исключаем по одной линии из каждого нечетного узла, как будто бы этой линии в фигура и не бы по. Оба нечетных узла после этого стано­вятся четными. Так как других нечетных узлов в фигуре не было, то теперь мы имеем фигуру только с четными узлами; на фигура б, например, после зачерчнвания линии АСВ ос­тается треугольник с окружностью.

Такую фигуру, как было показано, можно зачертить одним росчерком, а следовательно, можно зачертить и всю данную фигуру.

Одно дополнительное замечание: начиная обход с нечетного узла № 1, надо путь, ведущий в нечетный узел № 2, вы­брать так, чтобы не образовалось фигур, изолированных от данной фигуры¹). Например, при зачерчивании фигуры б на рис. 155 было бы неудачно поспешить перебраться из нечет­ного узла А в нечетный узел В по прямой АВ, так как при этом окружность осталась бы изолирозанной от остальной фигуры и незачерченной.

Итак, если фигура содержит два нечетных узла, то успеш­ный росчерк должен начинаться в одном из них и заканчиваться в другом.

Рис. 156. Зачертите каждую фигуру одним росчерком.

Значит, концы росчерка разъединены.

Отсюда, в свою очередь, следует, что если фигура имеет четыре нечетных узла, то ее можно зачертить не одним рос­черком, а двумя, но это уже не соответствует условию нашей задачи. Таковы, например, фигуры г ид на рис.  155.

Как видите, если научиться правильно рассуждать, то можно многое предвидеть и этим избавить себя от ненужной затраты сил и времени, а правильно рассуждать учит, в част­ности, и геометрия.

Может быть, вас, читатель, и утомили несколько изложен­ные здесь рассуждения, но ваши усилия окупаются тем пре­имуществом, которое дает знание над незнанием.

Вы всегда заранее можете определить, разрешима ли за­дача обхода данной фигуры, и знаете, с какого узла надо на­чать ее обход.

Более того, вам теперь легко придумать для своих друзей сколько угодно замысловатых фигур подобного рода.

Начертите-ка в заключение еще пару фигур, изображенных на рис. 156.