О портале "Математика. ру" arrow Без измерений arrow Решение
Математический портал Математику.ру

А. Дюрер

Поскольку же человеческий ум от природы (к великому, правда, ущербу для развития науки) предпочитает свободное поле общих истин густым зарослям и лесам частных проблем, то трудно было найти что-либо увлекательнее и приятнее математики для того, чтобы удовлетворить это стремление человеческого ума выйти на широкий простор размышлений [20, с. 242].

 

Решение

Печать E-mail
12.03.2008 г.

Решение

Каждый перекресток, в котором сходятся линии данной фигуры, назовем узлом. При этом назовем узел четным, если в нем  сходится  четное число линий, и нечетным,   если число  сходящихся  в нем линий   нечетное.   На  фигуре а все узлы четные; на фигуре б имеются два нечетных узла (точки А и В); на фигуре в нечетными узлами являются концы отрезка перечеркнувшего слово   «дом»;   на  фигурах г и д по четыре Нечетных узла.

Рассмотрим сначала такую фигуру, в которой все узлы четные, например фигуру а. Начнем свой маршрут из любой точки S. Проходя, например, через узел A, мы зачерчиваем две линии: подводящую к А и выводящую из А. Так как из каждого четного узла есть столько же выходов, сколько и входов в него, то по мере продвижения от узла к узлу каждый раз незачерченных линий становится на две меньше, следовательно, принципиально вполне возможно, обойдя их все, вернуться в исходную точку S.

Но, допустим, мы вернулись в исходную точку, и выхода из нее больше нет, а на фигуре осталась еще незачерченная линия, исходящая из какого-нибудь узла В, в котором мы уже были. Значит, надо внести поправку в свой маршрут: дойдя до узла В, прежде зачертить пропущенные линии и, вернувшись в В, идти дальше прежним путем.

Пусть, например, мы решили обойти фигуру с так: сна­чала вдоль сторон треугольника АСЕ, затем, вернувшись в точку Л, по окружности ABCDEFA (рис. 155). Так как при этом остается незачрченным треугольник BDF, то прежде, чем мы покинем, например, узел В и пойдем по дуге ВС, нам следует обойти треугольник BDF.

Итак, если все узлы данной фигуры четные, то, отправ­ляясь из любой точки фигуры, всегда можно ее всю зачер­тить одним росчерком, причем в этом случае обход фигуры должен закончиться в той же точка, из которой мы его начали.

Теперь рассмотрим такую фигуру, в которой есть два нечетных узла.

Фигура б, например, имеет два нечетных узла А и В.

Ее тоже можно зачертить одним росчерком.

В самом деле, начнем обход с нечетного узла № 1 и пройдем по какой-нибудь линии до нечетного узла № 2, на­пример, от А до В по АСВ на фигуре б (рис 155).

Зачертив эту линию, мы тем самым исключаем по одной линии из каждого нечетного узла, как будто бы этой линии в фигура и не бы по. Оба нечетных узла после этого стано­вятся четными. Так как других нечетных узлов в фигуре не было, то теперь мы имеем фигуру только с четными узлами; на фигура б, например, после зачерчнвания линии АСВ ос­тается треугольник с окружностью.

Такую фигуру, как было показано, можно зачертить одним росчерком, а следовательно, можно зачертить и всю данную фигуру.

Одно дополнительное замечание: начиная обход с нечетного узла № 1, надо путь, ведущий в нечетный узел № 2, вы­брать так, чтобы не образовалось фигур, изолированных от данной фигуры1). Например, при зачерчивании фигуры б на рис. 155 было бы неудачно поспешить перебраться из нечет­ного узла А в нечетный узел В по прямой АВ, так как при этом окружность осталась бы изолирозанной от остальной фигуры и незачерченной.

Итак, если фигура содержит два нечетных узла, то успеш­ный росчерк должен начинаться в одном из них и заканчиваться в другом.

 

Image

 

Рис. 156. Зачертите каждую фигуру одним росчерком.

 

Значит, концы росчерка разъединены.

Отсюда, в свою очередь, следует, что если фигура имеет четыре нечетных узла, то ее можно зачертить не одним рос­черком, а двумя, но это уже не соответствует условию нашей задачи. Таковы, например, фигуры г ид на рис.  155.

Как видите, если научиться правильно рассуждать, то можно многое предвидеть и этим избавить себя от ненужной затраты сил и времени, а правильно рассуждать учит, в част­ности, и геометрия.

Может быть, вас, читатель, и утомили несколько изложен­ные здесь рассуждения, но ваши усилия окупаются тем пре­имуществом, которое дает знание над незнанием.

Вы всегда заранее можете определить, разрешима ли за­дача обхода данной фигуры, и знаете, с какого узла надо на­чать ее обход.

Более того, вам теперь легко придумать для своих друзей сколько угодно замысловатых фигур подобного рода.

Начертите-ка в заключение еще пару фигур, изображенных на рис. 156.

 
« Пред.   След. »
Яндекс.Метрика