О портале "Математика. ру" arrow Без измерений arrow «Умный» шарик»
Математический портал Математику.ру

Д. Пойа

Анализ заключается в мыслях, синтез - в действиях [246, с. 136].

 

«Умный» шарик»

Печать E-mail
12.03.2008 г.

«Умный» шарик»

 

Несложные геометрические построения только что помогли нам решить задачу о биллиардном шарике, а теперь пусть тот же биллиардный шарик сам решает одну любопытную старин­ную задачу.

Разве это возможно? - шарик же не может мыслить. Верно, но в тех случаях, когда необходимо выполнить некоторый ра­счет, причем известно, какие операция над данными числами и в каком порядке необходимо для этого произвести,, такой расчет можно поручить машине, которая его выполнит без­ошибочно и быстро.

Для этого придумано много механизмов, начиная от про­стого  арифмометра и до  сложнейших  электрических машин,

В часы досуга нередко развлекаются задачей о том, как отлить какую-либо часть воды из наполненного сосуда данной емкости при помощи двух других пустых сосудов тоже извест­ной емкости.

Вот одна из многих задач подобного рода.

Разлить пополам содержимое 12-ведерной бочки при по­мощи двух пустых бочонков в девять  ведер и в пять ведер?

Для решения этой задачи вам, разумеется, не надо экспе­риментировать с настоящими бочками. Все необходимые «пере­ливания» можно проделать на бумаге по такой хотя бы схеме:

 

Image

 

В каждом столбике записан результат очередного перели­вания.

В первом: заполнили бочку в пять ведер, девятиведерная пустая (0), в 12-ведерной осталось семь ведер.

Во втором; перелили семь ведер из 12-ведерной бочки. в девятиведерную и т. д.

В схеме всего девять столбиков; значит, для решения за­дачи понадобилось девять переливаний.

Попробуйте найти свое решение предложенной задачи, устанавливающее иной порядок переливаний.

После ряда проб и попыток вам это несомненно удастся, так как предложенная схема переливаний не является един­ственно возможной; однако же при ином порядке переливаний у вас их выйдет больше девяти.

Возможно, что ваше решение этой задачи устанавливает иной порядок переливаний, но, наверное, более длительный, т. e у вас вышло больше девяти переливаний.

В связи  с  этим  любопытно будет  выяснить  следующее:

 

Image

 

Рис. 152. «Механизм» «умного» шарика.

 

1)  нельзя ли установить какой-либо определенный порядок переливаний, которого можно было бы придерживаться во всех: случаях независимо от ёмкости данных сосудов;

2)  можно ли при помощи двух пустых сосудов отлить из третьего сосуда любое возможное количество воды, т. е., например, из 12-ведерной бочки при помощи бочек в 9 и 5 ведер отлить одно ведро воды, или два ведра, или три, четыре и т. д. до 11.

На все эти вопросы ответит «умный» шарик, если мы сейчас для него построим «биллиардный стол» особой конструкции.

Расчертите листочек бумаги в косую клетку так, чтобы клетки были равными ромбами с острыми углами в 60°, и постройте фигуру OABCD, как на рис. 152.

Вот это и будет «биллиардный стол». Если толкнуть биллиардный шарик вдоль ОА, то, отскочив от борга AD точно по закону «угол падения равен углу отражения»

 

Image

, шарик покатится по прямой Ac4 соединяю­щей  вершины маленьких ромбов; оттолкнется  в точке с4  от борта ВС и покатится по прямой a4d4, затем по прямым a4b4, b4d4, d4a8 и т. д.

По условиям задачи мы имеем три бочки: девять, пять и 12 ведер. В соответствии с этим фигуру построим так, чтобы сторона ОА содержала девять клеток, ОВ- пять клеток, AD - три клетки (12-9 = 3), ВС-семь клеток 1) (12-5 = 7).

Заметим, что каждая точка на сторонах фигуры отделена определенным числом клеток от сторон ОВ и ОА. Например, от точки с4- четыре клетки до ОВ и пять клеток до ОА, от точки а4 - четыре клетки до ОВ и 0 клеток до О А (по­тому что она сама лежит на ОА), от точки d1 - восемь кле­ток до ОВ и четыре клетки до ОА и т. д.

Таким образом, каждая точка на сторонах фигуры, в ко­торую ударяется биллиардный шарик, определяет   два числа.

Условимся, что первое из них, т. е. число клеток, отде­ляющих точку от ОВ, обозначает количество ведер воды, на­ходящихся в девятиведёрной бочке, а второе, т. е. число клеток, отделяющих ту же точку от ОА, определяет количе­ство ведер воды в пятиведерной бочке. Остальное количество воды, очевидно, будет в 12-ведерной бочке.

Теперь все подготовлено к решению задачи при помощи биллиардного шарика.

Пустите его вновь вдоль ОА и, расшифровывая каждую точку его удара о борт так, как указано, проследите за его движением хотя бы до точки с6 (рис.  152).

Первая точка удара: А (9; 0); значит, первое переливание должно дать такое распределение воды:

9-ведсрн.

5-ведерн.

12-ведерн.

9

0

3

 

Это осуществимо.

Вторая точка удара:  с4  (4;   5);   значит,   шарик  рекомен­дует следующий результат второго переливания:

 

Image

 

Это тоже осуществимо.

Третья   точка   удара:   с4   (4;   0);   третьим переливанием шарик советует вернуть пять ведер в 12-ведерную бочку:

 

Image

 

Четвертая   точка:   b4   (0;   4);   результат   четвёртого   переливания:

 

Image

 

 

 1) Наполненная бочка всегда большая из трех. Пусть емкость пустых бочек а и b, а наполненной - с. Если с≥а+Ь, то «биллиардный стол» следует построить в форме параллелограмма со сто­ронами a и b клеток.

Пятая точка: di (8; 4), шарик настаивает   на переливании восьми ведер в пустую дгвятиведерную бочку:

 

Image

 

Продолжайте дальше следить за шариком,  и вы получите такую таблицу:

 

Image

 

Итак,   после   ряда  переливаний  цель   достигнута:   в двух бочках по шести ведер воды. Шарик решил задачу!

Но шарик оказался не очень умный.

Он решил задачу в 18 ходов, а нам удалось ее решить в девять ходов (см. первую таблицу).

Однако шарик тоже может укоротить ряд переливаний. Толкните его сначала по ОВ, остановите в точке В, затем снова толкните по ВС, а дальше пусть он двигается, как условились, - по закону «угол падения равен углу отражения»; получится короткий ряд переливаний.

Если вы позволите шарику продолжать движение и после точки ав, то нетрудно проверить, что в рассматриваемом слу­чае он обойдет все помеченные точки сторон фигуры (и во­обще все вершины ромбов) и только после этого вернется в исходную точку О. Это значит, что из бочки в 12 ведер можно налить в девятиведерную бочку любое целое число ведер от одного до девяти, а в пятиведерную - от одного до пяти.

Но задача подобного рода может и не иметь требуемого решения.

Как это обнаруживает шарик?

Очень просто: в этом случае он вернется в исходную точку О, не ударившись в нужную точку.

На рис. 153 изображен механизм решения задачи для бо­чек в девять, семь и 12 ведер:

 

Image

 

 

«Механизм» показывает, что из наполненной бочки в 12 ведер при помощи пустых бочек в девять ведер и в семь ведер можно отлить любое число ведер, кроме половины ее содержимого, т. е. кроме шести ведер.

На рис. 154 изображен механизм решения задачи для бо­чек в три, шесть и восемь ведер. Здесь шарик делает четыре отскока и возвращается в начальную точку О.

Соответствующая таблица

 

Image

 

 

показывает,   что   в этом  случае невозможно отлить   четыре ведра или одно ведро из восьмиведерной бочки.

 

Image

 

Рис. 153. «Механизм»    показывает,   что полную бочку в  12 ведер нельзя разлить пополам при помощи пустых бочек в девять и семь ведер.

 

 

Image

 

Рис. 154. «Механизм» решения  еще одной  задачи о  переливании.

 

Таким образом, наш «биллиард» с «умным> шариком дей­ствительно является любопытной  и  своеобразной счетной машиной, неплохо решающей задачи о переливании.

 
« Пред.   След. »
Яндекс.Метрика