О портале "Математика. ру" arrow Без измерений arrow Задача
Математический портал Математику.ру

Д. Пойа

Математика рассматривается как доказательная наука. Однако это только одна из ее сторон. Законченная математика, изложенная в законченной форме, выглядит как чисто доказательная, состоящая только из доказательств. Но математика в процессе создания напоминает любые другие человеческие знания, находящиеся в процессе создания. Вы должны догадаться о математической теореме, прежде чем вы ее докажете; вы должны догадаться об идее доказательства, прежде чем вы его проведете в деталях. Вы должны сопоставлять наблюдения и следовать аналогиям; вы должны пробовать и снова пробовать. Результат творческой работы математика - доказательное рассуждение, доказательство; но доказательство открывается с помощью правдоподобного рассуждения, с помощью догадки. Если обучение математике в какой-то степени отражает то, как создается математика, то в нем должно найтись место для догадки, для правдоподобного умозаключения [247, с. 10].

 

Задача

Печать E-mail
12.03.2008 г.

Задача

Вырезать из данной пластинки правильный многоугольник с заданным числом сторон.

Эта задача сводится к такой:

Разделить окружность на п равных частей, где п-целое число.

 

Image

 

Оставим пока в стороне очевидное решение поставленное задачи при помощи транспортира - это все-таки решение «на-глаз» - и подумаем о геометрическом решении: при помощи циркуля и линейки.

Прежде всего возникает вопрос: на сколько равных частей можно теоретически точно разделить окружность при помощи циркуля и линейки? Этот во­прос математиками решен пол­ностью: не на любое число частей1).

Можно: на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17,..., 257, ... частей.

Нельзя: на 7, 9, 11, 13, 14, ... частей.

Плохо еще и то, что нет единого способа построения; прием деления, допустим, на 15 частей не такой, как на 12 частей, и т. д., а все способы и не запомнишь.

 

1) Подробности см. в учебнике геометрии.

Практику нужен геометри­ческий способ - пусть прибли­женные, но достаточно простой и общий для деления окруж­ности на любое число равных дуг.

В учебниках геометрии, к сожалению, еще не уделяют этому вопросу никакого внимания, поэтому приведем здесь один любопытный прием приближенного геометрического реше­ния поставленной задачи.

Пусть, например, требуется разделить данную окружность (рис.  149) на девять равных частей. Построим на каком-либо из диаметров АВ окружности разносторонний треугольник АСВ и разделим диаметр АВ точкой D в отношении AD:AB = 2:9 (в общем случае АD:АВ=2:n).

Соединим точки С и D отрезком и продолжим его до пе­ресечения   с   окружностью   в точке Е. Тогда дуга АЕ будет составлять примерно 1/9 окружности (в общем случае АЕ=3600/n) или хорда АЕ будет стороной правильного вписанного девятиугольника (n-угольника).

Относительная погрешность при этом около 0,8°/0.

 

Если выразить зависимость между величиной центрального угла АОЕ, образующегося при указанном построении, и числом делений n, то получится следующая точная формула:

 

Image

 

которую для больших значений n можно заменить приближен­ной формулой

 

Image

 

С другой  стороны, при  точном делении  окружности на n  равных   частей  центральный   угол   должен   быть   равен 3600/n. Сравнивая   угол 3600/n  с   углом  АОЕ,    получим    величину по­грешности, которую мы делаем,   считая   дугу  АЕ 1/n-   частью окружности.

Получается такая таблица для некоторых значений п:

 

Image

 

 

Как видно из таблицы, указанным способом можно приб­лиженно разделить окружность на 5, 7, 8 или 10 частей с небольшой относительной ошибкой - от 0,07 до 1°/0; такая погрешность вполне допустима в большинстве практических работ. С увеличением числа делений n точность способа за­метно падает, т. е. относительная погрешность растет, но, как показывают исследования, при любом n она не превышает 10%.

 
« Пред.   След. »
Яндекс.Метрика