О портале "Математика. ру" arrow Без измерений arrow Задача
Математический портал Математику.ру

Дж. В. Янг

Сливками математики является так называемая самостоятельная работа... Без работы, носящей такой характер, изучение математики почти бесполезно для образования [342, с. 27].

 

Задача

Печать E-mail
12.03.2008 г.

Задача

Вырезать из данной пластинки правильный многоугольник с заданным числом сторон.

Эта задача сводится к такой:

Разделить окружность на п равных частей, где п-целое число.

 

Image

 

Оставим пока в стороне очевидное решение поставленное задачи при помощи транспортира - это все-таки решение «на-глаз» - и подумаем о геометрическом решении: при помощи циркуля и линейки.

Прежде всего возникает вопрос: на сколько равных частей можно теоретически точно разделить окружность при помощи циркуля и линейки? Этот во­прос математиками решен пол­ностью: не на любое число частей1).

Можно: на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17,..., 257, ... частей.

Нельзя: на 7, 9, 11, 13, 14, ... частей.

Плохо еще и то, что нет единого способа построения; прием деления, допустим, на 15 частей не такой, как на 12 частей, и т. д., а все способы и не запомнишь.

 

1) Подробности см. в учебнике геометрии.

Практику нужен геометри­ческий способ - пусть прибли­женные, но достаточно простой и общий для деления окруж­ности на любое число равных дуг.

В учебниках геометрии, к сожалению, еще не уделяют этому вопросу никакого внимания, поэтому приведем здесь один любопытный прием приближенного геометрического реше­ния поставленной задачи.

Пусть, например, требуется разделить данную окружность (рис.  149) на девять равных частей. Построим на каком-либо из диаметров АВ окружности разносторонний треугольник АСВ и разделим диаметр АВ точкой D в отношении AD:AB = 2:9 (в общем случае АD:АВ=2:n).

Соединим точки С и D отрезком и продолжим его до пе­ресечения   с   окружностью   в точке Е. Тогда дуга АЕ будет составлять примерно 1/9 окружности (в общем случае АЕ=3600/n) или хорда АЕ будет стороной правильного вписанного девятиугольника (n-угольника).

Относительная погрешность при этом около 0,8°/0.

 

Если выразить зависимость между величиной центрального угла АОЕ, образующегося при указанном построении, и числом делений n, то получится следующая точная формула:

 

Image

 

которую для больших значений n можно заменить приближен­ной формулой

 

Image

 

С другой  стороны, при  точном делении  окружности на n  равных   частей  центральный   угол   должен   быть   равен 3600/n. Сравнивая   угол 3600/n  с   углом  АОЕ,    получим    величину по­грешности, которую мы делаем,   считая   дугу  АЕ 1/n-   частью окружности.

Получается такая таблица для некоторых значений п:

 

Image

 

 

Как видно из таблицы, указанным способом можно приб­лиженно разделить окружность на 5, 7, 8 или 10 частей с небольшой относительной ошибкой - от 0,07 до 1°/0; такая погрешность вполне допустима в большинстве практических работ. С увеличением числа делений n точность способа за­метно падает, т. е. относительная погрешность растет, но, как показывают исследования, при любом n она не превышает 10%.

 
« Пред.   След. »
Яндекс.Метрика