О портале "Математика. ру" arrow Где небо сходится с землей arrow Решение
Математический портал Математику.ру

Г. Харди

Вероятно, величайший парадокс состоит в том, что в математике имеются парадоксы... Во-первых, это противоречия и абсурдные утверждения, которые являются следствием неправильного рассуждения. Во-вторых, это теоремы, которые кажутся странными и невероятными, но которые, будучи доказанными логически безукоризненно, должны быть приняты как верные, несмотря на то что они выходят за пределы нашей интуиции и воображения. Третий и наиболее важный тип парадоксов связан с теорией множеств, такого типа парадоксы привели к пересмотру оснований математики [206, с. 8-9].

 

Решение

Печать E-mail
12.03.2008 г.

Решение

Разбор задачи убедит нас, что способ, примененный воро­ной, приводит к цели не при всяком первоначальном уровне воды в  кувшине.

Ради упрощения примем, что кувшин имеет форму пря­моугольное призмы, а камешки представляют собою шарики одинаковой величины. Легко сообразить, что вода поднимется над уровнем камешков в том лишь случае, если первоначаль­ный запас воды занимает больший объем, чем все промежутки между камешками: тогда вода заполнит промежутки и высту­пит поверх камешков. Постараемся вычислить, какой объем занимают эти промежутки. Проще всего выполнить расчет при таком расположении казенных шариков, когда центр каждого лежит на одной отвесной прямой с центрами верхнего и нижнего шариков. Пусть диаметр шарика d и, следо­вательно,   объем   его

 

Image

, а объем описанного   около него кубика d3. Разность их объемов

 

Image

 есть объем неза­полненной части   кубика, а отношение

 

Image

 

означает, что незаполненная часть каждого кубика составляет 0,48 его объема. Такую же долю, т. е. немного меньше половины, составляет и сумма объемов всех пустот от объела кувшина. Дело мало изменяется, если кувшин имеет неприз­матическую форму, а камешки нешарообразны. Во   всех   случаях можно утверждать, что если первоначально вода в кув­шине налита была ниже половины, вороне не удалось бы набрасыванием камешков поднять воду до   краев.

Будь ворона посильнее, - настолько, чтобы утрясти ка­мешки в кувшине и добиться их плотного сложения, - ей удалось бы поднять воду более чем вдвое выше первоначаль­ного уровня. Но это ей не под силу сделать, и, допустив рыхлое расположение камешков, мы не уклонились от реаль­ных условий. К тому же кувшины обычно раздуты в средней части; это должно также уменьшить высоту : подъема воды и подкрепляет правильность нашего вывода: если вода стояла ниже половины высоты кувшина, - вороне напиться не уда­лось  бы.

 

 
След. »
Яндекс.Метрика