О портале "Математика. ру" arrow Геометрическая экономия arrow Решение
Математический портал Математику.ру

Дж. Кристал

Математика есть искусство давать то же имя различным вещам... Если выбрать хороший язык, то можно удивиться, узнав, что доказательства, подготовленные для известного предмета, непосредственно применимы ко многим новым предметам без дальнейших изменений - можно даже удержать названия [цит. по: 167, с. 124].

 

Решение

Печать E-mail
12.03.2008 г.

Решение

Действительно, длина приводного ремня определяется очень просто: к сумме расстояний между осями шкивов надо еще» прибавить длину окружности одного шкива. Если длина рем­ня /, то

 

Image

 

О том, что сумма длин дуг, с которыми соприкасается ремень, составляет всю длину окружности одного шкива, догадались почти все решавшие задачу, но не всем уда­лось это доказать.

Из представленных мастеру достаточно обоснованных реше­ний он признал наиболее коротким следующее.

Пусть ВС, DE, FA - касательные к окружностям (рис. 139). Проведем радиусы в точки касания. Так как окружно­сти шкивов имеют равные радиусы, то фигуры О1BCО2, О2DEО2 и О1О2FA - прямоугольники, следовательно, ВС+DE+ FA = а + b + с. Остается показать, что сумма длин дуг AB+CD+EF составляет полную длину окружности.

Для этого построим окружность О радиуса r (рис. 139, вверху). Проведем ОМ||O1A, ОН||О1D и OP||02D, тогда

 

Image

как углы с параллельными   сторонами.

Отсюда следует, что AB+CD+EF=MN+NP+PM=2πr,

Итак, длина ремня l=a+b+c+2nr.

Таким же способом можно показать, что не только для трех, но и для любого количества равных шкивов длина при­водного ремня будет равна сумме расстояний между их осями плюс длина окружности одного   шкива.

 

Image

 

Рис. 140. Снимите с рисунка  необходимые размеры  и  вычислите длину ленты транспортера.

 
« Пред.   След. »
Яндекс.Метрика