О портале "Математика. ру" arrow Впотьмах arrow Решение
Математический портал Математику.ру

Дж. В. Янг

Математика в завершенном своем виде дедуктивна; математика в процессе ее создания - индуктивна [406, с. 289].

 

Решение

Печать E-mail
12.03.2008 г.

Решение

Дело  в  том,   что  когда круг катится без   скольжения по прямолинейному отрезку длиною в -^ окружности катящегося;

круга, тогда он действительно делает 1/3- оборота вокруг сво­его центра. Это утверждение становится неверным, не соот­ветствующим действительности, если круг катится по дуге какой-либо кривой линии. В рассматриваемой задаче катящийся круг, пробегая дугу, составляющую, например, 1/3 длины его окружности, делает не 1/3, оборота, а 2/3 оборота   и,   следовательно, пробегая шесть таких дуг, делает

 

Image

 

В этом вы можете убедиться наглядно. Пунктир   на   рис.   127  изображает  положение катящегося круга  после  того, как  он  прокатился  по   дуге АВ (=60°)

неподвижного круга, т. е. по дуге, составляющей 1/6 длины окружности. В новом положении круга наивысшее место на его окружности занимает уже не точка А, а точка С, что, как нетрудно  видеть,  соответствует  повороту   точек   окружности]

на 120°, т. е. на 1/3 полного оборота. «Дорожке» в 120° будет соответствовать 2/3 полного оборота катящегося круга.

Итак, если круг катится по кривой (или по ломаной) дорожке, то он делает иное число оборотов, нежели в том случае, когда он катится  по   прямолинейной дорожке той же длины.

 

Image

Подпись: Рис. 128. Как  появляется   дополни¬тельный поворот при качении круга по ломаной линии.

 

 

 

 

 

Задержимся еще немного на геометрической стороне этого удивительного факта, тем более, что обычно даваемое ему объяснение не всегда бывает убедительным.

Пусть круг радиуса r катится по прямой. Он делает один оборот на отрезка АВ, длина которого равна длине окруж­ности катящегося круга (2πr). Надломим отрезок АВ в его середине С (рис. 128) и повернем звено СВ на угол а относитель­но первоначального поло­жения.

Теперь круг, сделав пол-оборота, дойдет до вершины С и, чтобы за­нять такое положение, при котором он будет ка­саться в точке С пря­мой СВ, повернется вме­сте со своим центром на угол, равный углу а (эти углы равны, как имеющие взаимно перпендикулярные  стороны).

В процессе этого вращения круг катится без продвижения по отрезку. Вот это и создает здесь дополнительную часть полного оборота сравнительно с качением по прямой.

Дополнительный  поворот  составляет   такую часть полного оборота, какую составляет угол а от угла 2π, т. е. a/2p.-  Вдоль отрезка СВ круг сделает тоже пол-оборота, так что всего при движении по ломаной АСВ он сделает l+a/2p- оборотов.

 

Image

 

Теперь нетрудно представить себе, сколько оборотов дол­жен сделать круг, катящийся снаружи по сторонам выпукло­го правильного шестиугольника (рис. 129). Очевидно столько, сколько раз он обернулся бы на прямолинейном пути, равном периметру (т. е. сумме сторон) шестиугольника, плюс число оборотов,    равное   сумме   внешних    углов    шестиугольника, деленной на 2π. Так как сумма внешних углов всякого выпук­лого многоугольника постоянна и равна

 

Image

 

Таким образом, обходя шести­угольник, а также и любой выпуклый многоугольник, круг всегда сделает од­ним оборотом больше, чем при движе­нии по прямолинейному отрезку, рав­ному периметру многоугольника.

При бесконечном удвоении числа сторон правильный выпуклый много­угольник приближается к окружно­сти, значит, все высказанные сооб­ражения остаются в силе и для окруж­ности. Если, например, в соответ­ствии с первоначально поставленной задачей один круг катится по дуге в 120° равного  ему  круга,   то  утверждение, что движущийся круг делает при этом не 1/3-, а 2/3 обо­рота, приобретает полную геометрическую ясность.

 
« Пред.   След. »
Яндекс.Метрика