О портале "Математика. ру" arrow Впотьмах arrow Квадратура круга
Математический портал Математику.ру

А. Лебег

Если хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока к тому есть возможность [127, с. 149].

 

Квадратура круга

Печать E-mail
12.03.2008 г.

Квадратура круга

 

Не может быть, чтобы читатель не слыхал никогда о «квад­ратуре круга» - о той знаменитейшей задаче геометрии, нал которой трудились математики еще 20 веков назад. Я даже уверен, что среди читателей найдутся и такие, которые сами пытались разрешить эту задачу. Еще больше, однако, наберется читателей, которые недоумевают, в чем собственно кроется трудность разрешения этой классической неразрешимой задачи. Многие, привыкшие повторять с чужого голоса, что задача Я квадратуре круга неразрешима, не отдают себе ясного отчета ни в сущности самой задачи,  ни  в трудности ее разрешения.

В математике есть немало задач, гораздо более интересных и теоретически, и практически, нежели задача о квадратуре круга. Но ни одна не приобрела такой популярности, как эта проблема, давно вошедшая в поговорку. Два тысячелетия трудились над ней выдающиеся профессионалы-математики и не­сметные толпы любителей.

«Найти квадратуру круга»-значит начертить квадрат, площадь которого в точности равна площади данного круга. Практически задача эта возникает очень часто, но как раз практически она разрешима с любой точностью. Знаменитая задача древности требует, однако, чтобы чертеж выполнен был совершенно точно при помощи всего только двух рядов чертежных операций: 1) проведением окружности данного радиуса вокруг данной точки; 2) проведением прямой линии через две данные точки.

Короче говоря, необходимо выполнить чертеж, пользуясь только двумя чертежными инструментами: циркулем и линейкой.

В широких кругах нематематиков распространено убежде­ние, что вся трудность обусловлена тем, что отношение длины окружности к ее диаметру (знаменитое число π) не может быть выражено конечным числом цифр. Это верно лишь по­стольку, поскольку разрешимость задачи зависит от особенной природы числа π. В самом деле: превращение прямоуголь­ника в квадрат с равной площадью - задача легко и точно разрешимая. Но проблема квадратуры круга сводится ведь к построению - циркулем и линейкой - прямоугольника, равно­великого данному кругу. Из формулы площади круга, S= π r2, или (что то же самое) S= π r×r  ясно, что площадь круга равна площади такого прямоугольника, одна сторона которого равна г, а другая в π раз больше. Значит, все дело в том, . чтобы начертить  отрезок, который в π раз  длиннее данного.

Как известно, π не равно в точности ни 31/7, ни 3,14 ни даже 3,14159. Ряд цифр, выражающих это число, уходит в бес­конечность.

Указанная особенность числа π, его иррациональ­ность1), установлена была еще в XVIII веке математиками Ламбертом и Лежандром. И все же знание иррациональности π не остановило усилий сведущих в математике «квадратуристов». Они понимали, что иррациональность π сама по себе не делает задачи безнадежной. Существуют иррациональные числа, которые геометрия умеет «строить» совершенно точно. Пусть, например, требуется начертить отрезок, который длин­нее данного в

 

Image

 раз. Число

 

Image

, как и π,- иррациональ­ное. Тем не менее ничто не может быть легче, чем начертить искомый отрезок: вспомним, что а

 

Image

 есть сторона квадрата, вписанного в круг радиуса а.

Каждый школьник легко справляется также и с построе­нием отрезка

 

Image

 (сторона равностороннего вписанного тре­угольника). Не представляет особых затруднений даже построе­ние такого весьма сложного на вид иррационального выражения:

 

Image

 

потому что оно сводится к построению правильного треугольника.

Как видим, иррациональный множитель, входящий в выра­жение, не всегда делает это выражение невозможным для построения циркулем и линейкой. Неразрешимость квадратуры круга кроется не всецело в том, что число π - иррацио­нальное, а в другой особенности этого же числа. Именно число π - не алгебраическое, т. е. не может быть по­лучено в итоге решения какого бы то ни было уравнения с рациональными коэффициентами. Такие числа называют» «трансцендентными».

Математик    XVI    столетия    Вьета    доказал,    что   число π/4

 

 

и т. д.

Это выражение для π разрешало бы задачу о квадра­туре круга, если бы число входящих в него операций были конечно (тогда приведенное выражение можно было бы геометрически построить). Но так как число извлечений квадратных корней в этом выражении бесконечно, то выражение Вьета не  помогает делу.

Итак, неразрешимость задачи о квадратуре круга обуслов­лена трансцендентностью числа то, т. е. тем, что оно не может получиться в итоге решения уравнения с рациональными коэффициентами. Эта особенность числа π была строго доказан в 1889 г. немецким математиком Линдеманом. В сущности названный ученый и должен считаться единственным человеком, разрешившим квадратуру круга, несмотря на то, что решения его отрицательное - оно утверждает, что искомое построение геометрически невыполнимо. Таким образом, в 1889 г. завершаются многовековые усилия математиков в этом направлении, но, к сожалению, не прекращаются бесплодные попытки многочисленных любителей, недостаточно знакомых с задачей.) Так обстоит дело в теории. Что касается практики, то она вовсе не нуждается в точном разрешении этой знаменитой задачи. Убеждение многих, что разрешение проблемы квадратуры круга имело бы огромное значение для практической жизни - глубокое заблуждение. Для потребностей оби­хода вполне достаточно располагать хорошими приближенными призмами решения этой задачи.

Практически поиски квадратуры круга стали бесполезны с того времени, как найдены были первые 7 - 8 верных цифр числа π. Для потребностей практической жизни вполне достаточно знать, что π=3,1415926. Никакое измерение длины не может дать результата, выражающегося более чем семью значащими цифрами. Поэтому брать для π более восьми цифр - бесполезно: точность вычисления от этого не улучшается. Если радиус выражен семью значащими циф­рами, то длина окружности не будет содержать более семи достоверных цифр, даже если взять для π сотню цифр. То, что старинные математики затратили огромный труд для полу­чения возможно более длинных значении π, никакого практи­ческого значения не имеет. Да и научное значение этих трудов ничтожно. Это попросту дело терпения. Если у вас есть охота и достаточно досуга, вы можете отыскать хоть 1008 цифр для π, пользуясь, например, следующим бесконеч­ным рядом, найденным Лейбницем1):

 

 

и т. д.

Но это будет никому не нужное арифметическое упраж­нение, нисколько не подвигающее разрешения знаменитой геометрической задачи.

Упомянутый ранее французский астроном Араго писал по этому поводу следующее:

«Искатели квадратуры круга продолжают заниматься ре­шением задачи, невозможность которого ныне положительно доказана и которое, если бы даже и могло осуществиться, не представило бы никакого практического интереса. Не стоит распространяться об этом предмете: больные разумом, стремя­щиеся к открытию квадратуры круга, не поддаются никаким доводам. Эта умственная болезнь существует с древнейших времен».

И иронически заканчивает:

«Академии всех стран, борясь против искателей квад­ратуры, заметили, что болезнь эта обычно усиливается к весне».

 
« Пред.   След. »
Яндекс.Метрика