О портале "Математика. ру" arrow Впотьмах arrow Бросание иглы
Математический портал Математику.ру

 

Если, например, у нас математические аксиомы представляются каждому восьмилетнему ребенку чем-то само собой разумеющимся, не нуждающимся ни в каком опытном доказательстве, то это является лишь результатом "накопленной наследственности" [2, т. 20, с. 582].

 

 

Бросание иглы

Печать E-mail
12.03.2008 г.

Бросание иглы

Самый оригинальный и неожиданный способ для приближен­ного вычисления числа π состоит в следующем. Запасаются короткой (сантиметра два) швейной иглой,- лучше с отломан­ным острием, чтобы игла была равномерной толщины,- и про­водят на листе бумаги ряд тонких параллельных линий, отде­ленных одна от другой расстоянием вдвое больше длины иглы.

Затем роняют с некоторой (произвольной) высоты иглу на бумагу и замечают, пересекает ли игла одну из линий или нет {рис. 124, налево). Чтобы игла не подпрыгивала, подкладывают под бумажный лист пропускную бумагу или сукно. Бросание иглы повторяют много раз, например сто или, еще лучше, тысячу, каждый раз отмечая, было ли пересечение 1). Если потом разделить общее число падений иглы на число случаев, когда замечено было пересечение, то в результате должно получиться число π, конечно, более или менее при­ближенно.

 

Image

 

Рис. 124. Опыт Бюффона с бросанием иглы.

 

Объясним, почему так получается. Пусть вероятнейшее число пересечений иглы равно К, а длина нашей иглы - 20 мм. В случае пересечения точка встречи должна, конечно, лежать на каком-либо из этих миллиметров, и ни один из них, ни одна часть иглы, не имеет в этом отношении никаких пре­имуществ перед другими. Поэтому вероятнейшее число пере­до сечений каждого отдельного миллиметра равно К/20.

 

 1) Пересечением надо считать и тот случай, когда игла  только упирается концом в начерченную линию.

Для участка иглы в иглы в 3 мм оно равно 3К/20, для участка в 11 мм - 11К/20 и т.д. Иначе говоря, вероятнейшее число пересечений прямо пропор­ционально длине иглы.

Эта пропорциональность сохраняется и в том случае, если игла согнута. Пусть  игла согнута в форме фиг. // (рис. 124,направо), причем   участок   АВ=11 мм,    ВС=9 мм.    Для части АВ вероятнейшее число пересечений  равно 11К/20,  а для ВС равно 9К/20, т.е. по-прежнему равно К. Мы можем изогнуть иглу и более затейливым образом (фиг. III, рис. 124),- число пересечений от этого не изменилось бы. (Заметьте, что  при  изогнутой  игле возможны пересечения черты двумя и более частями иглы сразу; такое пересечение надо, конечно, считать за 2, за 3 и т. д., потому что первое зачислялось при подсчете пересечений для одной части иглы, второе - для другой и т. д.)

Вообразите теперь, что мы бросаем иглу, изогнутую в форме окружности с диаметром, равным  расстоянию   между чертами (оно вдвое больше, чем наша игла). Такое кольцо каждый раз должно дважды пересечь какую-нибудь черту (или по одному разу коснуться двух линий,- во всяком случае, получаются два встречи). Если общее число бросаний N, то число встреч - 2N. Наша прямая игла меньше этого кольца по длине во столько раз, во сколько полудиаметр меньше длины окружности, т. e в 2π раз.   Но мы  уже  установили,   что   вероятнейшее  число пересечений пропорционально длине иглы.  Поэтому вероятнейшее число (К) пересечений нашей иглы должно быть меньше 2N в 2π раз, т. е. равно N/ π.    Отсюда

 

Image

 

 

Чем большее число падений наблюдалось, тем точней получается выражение для тс. Один швейцарский астроном, Р. Вольф в середине прошлого века наблюдал 5000 падений иглы на разграфленную бумагу и получил в качестве π число 3,159 ...- выражение, впрочем, менее точное, чем архимедово число.

Как видите, отношение длины окружности к диаметру на­ходят здесь опытным путем, причем - это всего любопытнее - не чертят ни круга ни диаметра, т. е. обходятся без циркуля.. Человек, не имеющий никакого представления о геометрия и даже о круге, может тем не менее определить по этому способу число π, если терпеливо проделает весьма большое число бросаний иглы.

 
« Пред.   След. »
Яндекс.Метрика