Поверка расчета

Читатель, сведущий в геометрии, заметит, без сомнения, что способ вычисления объема двух усеченных конусов, примененный юным героем Майн-Рида, не вполне точен. Если (рис. 109) обозначим радиус меньших оснований через, радиус большего-через R, а высоту бочки, т. е. двойную высоту каждого усеченного конуса, через Л, то объем, полученный мальчиком, выразится формулой

Между тем, поступая по правилам геометрии, т. е. приме­няя формулу объема усеченного конуса, мы получили бы для искомого объема выражение

Оба выражения   нетождественны, и легко убедиться, что второе больше первого на

Знакомые с алгеброй сообразят, что разность

 есть величина  положительная,  т. е.   способ майн-ридовского мальчика дал ему результат преуменьшенный.

Интересно определить, как примерно велико это преумень­шение. Бочки обычно устраиваются так, что наибольшая ши­рина их превышает поперечник дна на  ¹/₅ его, т. е.

Рис, 109. Поверка расчета юноши.

Принимая, что бочка в романе Майн-Рида была именно такой формы, можем найти разность между полученной и истинной величиной объема усеченных конусов:

т.  е.  около 

 (если  считать π = 3).   Ошибка  равна,  мы видим, объему цилиндра, радиус основания которого есть радиус наибольшего сечения бочки, а высота - трехсотая доля ее высоты.

Однако в данном случае желательно небольшое преувели­чение результата, так как объем бочки заведомо больше объёма двух вписанных в нее усеченных конусов. Это ясно из рис. 109 (справа), где видно, что при указанном способе обмера бочки отбрасывается часть ее объема, обозначенная буквами а, а,  а, а.

Юный математик Майн-Рида не сам придумал эту формулу для вычисления объема бочки; она приводится в некоторых начальных руководствах по геометрий как удобный прием для приближенного определения содержания бочек. Надо заметить, что измерить объем бочки совершенно точно - задай весьма нелегкая. Над нею размышлял еще великий Кеплер, оста­вивший в числе своих математических сочинений специальную работу об искусстве измерять бочки. Простое и точнее гео­метрическое решение этой задачи не найдено и по настоящее время: существуют лишь выработанные практикой приемы, дающие результат с большим или меньшим приближением. На юге Франции,   например,  употребляется  простая  формул»

объем бочки =3,2 hRr,

хорошо оправдывающаяся на опыте.

Интересно рассмотреть также вопрос: почему, собственно, бочкам придается такая неудобная для обмера форма-цилиндра, с выпуклыми боками? Не проще ли было бы изготовлять бочки строго цилиндрические? Такие цилиндрические бочки, правда, делаются, но не деревянные, а металлические (для керосина, например). Итак, перед нами