Поверка расчета Читатель, сведущий в геометрии, заметит, без сомнения, что способ вычисления объема двух усеченных конусов, примененный юным героем Майн-Рида, не вполне точен. Если (рис. 109) обозначим радиус меньших оснований через, радиус большего-через R, а высоту бочки, т. е. двойную высоту каждого усеченного конуса, через Л, то объем, полученный мальчиком, выразится формулой  Между тем, поступая по правилам геометрии, т. е. применяя формулу объема усеченного конуса, мы получили бы для искомого объема выражение  Оба выражения нетождественны, и легко убедиться, что второе больше первого на  Знакомые с алгеброй сообразят, что разность  есть величина положительная, т. е. способ майн-ридовского мальчика дал ему результат преуменьшенный. Интересно определить, как примерно велико это преуменьшение. Бочки обычно устраиваются так, что наибольшая ширина их превышает поперечник дна на 1/5 его, т. е.  Рис, 109. Поверка расчета юноши. Принимая, что бочка в романе Майн-Рида была именно такой формы, можем найти разность между полученной и истинной величиной объема усеченных конусов:  т. е. около (если считать π = 3). Ошибка равна, мы видим, объему цилиндра, радиус основания которого есть радиус наибольшего сечения бочки, а высота - трехсотая доля ее высоты. Однако в данном случае желательно небольшое преувеличение результата, так как объем бочки заведомо больше объёма двух вписанных в нее усеченных конусов. Это ясно из рис. 109 (справа), где видно, что при указанном способе обмера бочки отбрасывается часть ее объема, обозначенная буквами а, а, а, а. Юный математик Майн-Рида не сам придумал эту формулу для вычисления объема бочки; она приводится в некоторых начальных руководствах по геометрий как удобный прием для приближенного определения содержания бочек. Надо заметить, что измерить объем бочки совершенно точно - задай весьма нелегкая. Над нею размышлял еще великий Кеплер, оставивший в числе своих математических сочинений специальную работу об искусстве измерять бочки. Простое и точнее геометрическое решение этой задачи не найдено и по настоящее время: существуют лишь выработанные практикой приемы, дающие результат с большим или меньшим приближением. На юге Франции, например, употребляется простая формул» объем бочки =3,2 hRr, хорошо оправдывающаяся на опыте. Интересно рассмотреть также вопрос: почему, собственно, бочкам придается такая неудобная для обмера форма-цилиндра, с выпуклыми боками? Не проще ли было бы изготовлять бочки строго цилиндрические? Такие цилиндрические бочки, правда, делаются, но не деревянные, а металлические (для керосина, например). Итак, перед нами
|