О портале "Математика. ру" arrow Походная тригонометрия arrow Вычисление синуса
Математический портал Математику.ру

К. Гаусс

О Изучение всех работ Эйлера навсегда останется лучшей, ничем не заменимой школой в самых различных областях математических наук [66, с. 265].

 

Вычисление синуса

Печать E-mail
12.03.2008 г.

Вычисление синуса

 

В этой главе будет показано, как можно вычислять сто­роны треугольника с точностью до 2%  и углы с точностью до 1°, пользуясь одним лишь понятием синуса и не прибегая ни к таблицам, ни к формулам. Такая упрощенная тригоно­метрия может пригодиться во время загородной прогулки, когда таблиц под рукой нет, а формулы полузабыты. Робин­зон на своем острове мог бы успешно пользоваться такой тригонометрией.

Итак, вообразите, что вы еще не проходили тригономет­рии или же забыли ее без остатка,- состояние, которое иным из читателей, вероятно, нетрудно себе представить. Начнем знакомиться с ней сызнова. Что такое синус острого угла? Это - отношение противолежащего катета к гипотенузе в том треугольнике, который отсекается от угла перпендикуляром к одной  из  его  сторон.   Например,   синус  угла а (рис. 88) есть

128_01

Image

 

Легко   видеть, что вследствие подобия образовавшихся здесь треугольников все эти отношения равны одно другому.

Чему же равны синусы различных углов от 1 до 90°? Как узнать это, не имея под рукой таблиц? Весьма проста: надо составить таблицу синусов самому. Этим мы сейчас и займемся.

Начнем с тех углов, синусы которых нам известны из геометрии. Это, прежде всего, угол в 90°, синус которого, очевидно, равен 1. Затем угол в 45°, синус которого легко вычислить  по  Пифагоровой  теорем: он  равен Подпись: Рис. 89. Как вычислить sin 15°?

 

 

Это чересчур грубо даже для нетребовательной походной три­гонометрии. Чтобы найти гра­ницу, до которой позволитель­но вести вычисление синусов по указанному приближенному спо­собу, постараемся найти точным приемом sin 15°. Для этого воспользуемся следующим не особенно замысловатым построением (рис. 89). Пусть sin150=ВС/АВ. Продолжим ВС на рав­ное расстояние до точки D; соединим А с D, тогда получим два равных треугольника: ADC и ABC, и угол BAD, рав­ный 300. Опустим на AD перпендикуляр BE; образуется пря­моугольный треугольник  ВАЕ  с  углом 30° (<ВАЕ), тогда ВЕ=АВ/2.  Далее  вычисляем  АЕ из  треугольника  ABE из теореме Пифагора:

 

Image

 

Значит, ED-AD-АЕ=АВ-0,866АВ=0,134АВ. Те­перь из Треугольника BED вычисляем BD:

 

Image

.

Половина BD, т. е. ВС, равна 0,259АВ, следовательно, иско­мый синус

 

Image

 

Это - табличное значение sin 15°, если ограничиться тремя знаками. Приближенное же значение его,  которое мы нашли бы по прежнему способу, равно 0,262.  Сопоставляя  обозначения

0,259 и 0,262,

видим,  что,   ограничиваясь   двумя   значащими   цифрами,   мы получаем:

0,26 и 0,26,

т. е. тождественные  результаты. Ошибка при замене более точного значения (0,259) приближенным (0,26) составляет 0,001, т. е. около 0,4%. Это погрешность, позволительная для по­ходных расчетов, и, следовательно, синусы углов от 1 до 15° мы вправе вычислить по нашему приближенному способу.

Для промежутка от 15 до 30° мы можем вычислять синусы при помощи пропорций. Будем рассуждать так. Разница между sin 30° и sin 15° равна 0,50-0,26 = 0,24. Значит,- можем мы допустить, - при увеличении угла на каждый гpaдус синус его возрастает примерно на 1/15 этой разницы, т. e на 0,24/15=0,016. Строго говоря,  это, конечно,  не так, но отступление от указанного правила обнаруживается только в третьей значащей цифре, которую мы все равно отбрасываем. Итак, прибавляя последовательно по 0,016 к sin 15°, получим синусы 16°,  17°, 18° и т. д.:

                            sin 16° = 0,26 + 0,016 = 0,28,

                            sin 17° = 0,26+ 0,032 = 0,29,

                            sin 18° = 0,26 + 0,048 = 0,31,

                            .......................................

                            sin  25° = 0,26+ 0,16 = 0,42 и т. д.

Все эти синусы верны в первых двух десятичных знаках, т. е. с достаточною для наших целей точностью: они отли­чаются от истинных синусов менее чем на половину единицы последней цифры.

Таким же способом поступают при вычислении углов в про­межутках между 30 и 45°. Разность sin 45°-sin33°= 0,707-0,5 = 0,207. Разделив ее на 15, имеем 0,014. Эту величину будем прибавлять последовательно к синусу 30°; тогда получим;

                            sin31°=0,5+0,014=0,51,

                            sin 32°=0,5 + 0,028 = 0,53,

                            ..............................................

                            sin 40° = 0,5 +0,14 = 0,64 и т. д.

Остается найти синусы острых углов больше 45°. В этом поможет нам Пифагорова теорема. Пусть, например, мы же­лаем найти sin53°,  т. е. (рис.   90) отношение ВС/АВ.  Так  как угол В==37°, то синус его мы можем вы­числить по предыдущему: он равен 0,5+7х0,014 = 0,6. С другой стороны, мы знаем, что sinВ=АС/АВ. Итак, АС/АВ=0,6,  откуда    АС= 0,6 х АВ. Зная АС, легко вычис­лить ВС. Этот отрезок равен

 

Image

 

Расчет в общем, нетруден;   надо только уметь  вычислять квадратные корни.

 

Image

 
« Пред.
Яндекс.Метрика