О портале "Математика. ру" arrow В дороге arrow Радиус закругления
Математический портал Математику.ру

Д. Пойа

Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их! [248, с. 13].

 

Радиус закругления

Печать E-mail
12.03.2008 г.

Радиус закругления

 

Стоя близ одного из таких закруглений, могли бы вы определить величину его радиуса? Это не так легко, как найти радиус дуги, начерченной на бумаге. На чертеже дело просто: вы проводите две произвольные хорды и из середин их восставляете перпендикуляры: в точке их пересечения лежит, как из­вестно, центр дуги; расстояние его от какой-либо точки кривой и есть искомая длина радиуса.

Но сделать подобное же построе­ние на местности было бы, конечно, очень неудобно: ведь центр закруг­ления лежит в расстоянии 1-2 км от дороги, зачастую в недоступном ме­сте. Можно было бы выполнить по­строение на плане, но снять закругле­ния на план - тоже нелегкая работа.

 

Image

 

 

Подпись: Рис. 84. К вычислению радиуса закругления.

 

 

 

 

Все эти  затруднения  устраняются, если   прибегнуть не к построению, а вычислению радиуса. Для этого   можно воспользоваться следующим приемом. Дополним (рис. 84) мысленно дугу АВ закругления до окружности. Соединив произвольные точки С и D дуги закругления, измеряем хорду CD, а также «стрелку» EF (т, е, высоту сегмента CED). По этим двум данным уже нетрудно вычислить искомую длину радиуса. Рас­сматривая прямые CD и диаметр круга как пересекающиеся хорды, обозначим длину хорды через а, длину стрелки через h, радиус через R; имеем:

 

Image

 

откуда

 

Image

 

и искомый радиус1)

 

Image

 

Например, при стрелке в 0,5 м и хорде 48 м искомый радиус

 

Image

 

Это вычисление можно упростить, если считать 2R-h равным 2R - вольность позволительная, так как h весьма мало по сравнению с R (ведь R- сотни метров, а h - единицы их). Тогда получается весьма удобная для вычислений приближен­ная формула

 

Image

 

Применив ее в сейчас рассмотренном случае, мы получили бы ту же величину

R = 580.

Вычислив длину радиуса закругления и зная, кроме того, что центр закругления находится на перпендикуляре к середине хорды, вы можете приблизительно наметить и то место, где должен лежать центр кривой части дороги.

Если на дороге уложены рельсы, то нахождение радиуса закругления упрощается. В самом деле, натянув веревку по касательной к внутреннему рельсу, мы получаем хорду дуги наружного рельса, стрелка которой h (рис. 85) равна ширине колеи-1,52 м. Радиус закругления в таком случае (если a -длина хорды) равен приближенно

 

Image

 

При а=120м радиус закругления равен 1200 м2).

 

 

 

1) То же могло быть получено и иным путем - из прямоугольного треугольника COF, где OC=R, CF=а/2 ,OF=R - h,

По теореме Пифагора

 

Image

 

откуда

 

Image

 

 

2) На практике способ этот представляет то неудобство, что ввиду большого радиуса закругления веревка для хорды требуется очень длинная.

 

 

Image

 

Рис. 85.  К вычислению  радиуса  железнодорожного закругления

 

 
« Пред.   След. »
Яндекс.Метрика