Какой длины тень Луны и тень стратостата

Довольно неожиданное применение для угла зрения найдено мною в задачах на вычисление длины тени, отбрасываемой различными телами в пространстве. Луна, например, отбра­сывает в мировом пространстве конус тени, который сопро­вождает ее всюду.

Как далеко эта тень простирается?

¹) В предыдущих изданиях «Занимательной геометрии» Я- И. Перельман объяснял кажущееся увеличение Луны у гори­зонта тем, что у горизонта мы ее видим рядом с отдаленными предметами, а на пустом небесном своде ее видим одну. Однако та же иллюзия наблюдается и на ничем "не заполненном горизонте моря, так что предлагавшееся прежде объяснение описываемого эффекта надо признать неудовлетворительным. (Прим. ред.)

Чтобы выполнить это вычисление, нет необходимости, основываясь на подобии треугольников, составлять пропорцию, в которую входят диаметры Солнца и Луны, а также рас­стояние между Луной и Солнцем. Расчет можно сделать го­раздо проще. Вообразите, что глаз ваш помещен в той точке, где кончается конус лунной тени, в вершине этого конуса, и вы смотрите оттуда на Луну. Что вы увидите? Черный круг Луны, закрывающий Солнце. Угол зрения, под которым виден нам диск Луны (или Солнца), известен: он равен половине градуса. Но мы уже знаем, что предмет, видимый под углом в полградуса, удален от наблюдателя на 2 х 57 = 114 своих поперечников. Значит, вершина конуса лунной тени отстоит от Луны на 114 лунных поперечников. Отсюда длина лунной тени равна

3500х114 ≈400 000 км.

Она длиннее расстояния от Земли до Луны; оттого и могут случаться полные солнечные затмения (для мест земной по­верхности, которые погружаются в эту тень).

Нетрудно вычислить и длину тени Земли в пространстве: она во столько раз больше лунной, во сколько раз диаметр Земли превышает диаметр Луны, т. е. примерно в четыре раза.

Тот же прием годен и для вычисления длины простран­ственных теней более мелких предметов. Найдем, например, как далеко простирался в воздухе конус тени, отбрасываемой стратостатом «COAX-I» в тот момент, когда оболочка его раздувалась в шар. Так как диаметр шара стратостата 36 м, то длина его тени (угол при вершине конуса тени тот же, полградуса)

36х114 ≈ 4100 м,

 или около 4 км.

Во всех рассмотренных случаях речь шла, конечно, о длине полной тени, а не полутени.